Алгебраические уравнения. Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение (*)

Теорема Гаусса. Любое алгебраическое уравнение

(*)

имеет на множестве комплексных чисел хотя бы одно решение.

Эту теорему также называют основной теоремой алгебры. Согласно этой теореме, уравнение (*) имеет хотя бы один корень z = z₀. Разделив многочлен, стоящий в левой части (*) на одночлен (z = z₀), мы получим снова уравнение вида (*), которое согласно той же теореме Гаусса имеет хотя бы одно решение. Продолжая так n раз, получим следствие теоремы Гаусса: любое алгебраическое уравнение n-ной степени имеет ровно n, вообще говоря, комплексных, корней (разумеется, некоторые корни могут совпадать).

Пример 1

Решите уравнение z³ + z – 2 = 0.

Решение

Очевидно, z = 1 – корень этого уравнения. Разделив многочлен z3 + z – 2 на одночлен (z – 1), например, по схеме Горнера, получим разложение исходного многочлена на множители: Корни квадратичной функции находим по формуле корней квадратного уравнения: Ответ. 1,

Рациональные уравнения являются следующим по сложности типом стандартных уравнений.

Функция f (x) называется рациональной (дробно-рациональной), если она представима в виде отношения двух многочленов: (степени n и m многочленов могут быть произвольными).

Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g (x) являются дробно-рациональными функциями.

Для решения дробно-рациональных уравнений существует алгоритм.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Заменить данное уравнение уравнением с целыми коэффициентами, умножив его на общий знаменатель.

3. Попытаться решить полученное уравнение с целыми коэффициентами.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

5. Записать ответ.

Пример 2

Решите уравнение

Решение

равнения, в которых переменная входит под знаком радикала, называются иррациональными уравнениями.

Стандартным методом их решения является возведение уравнения в подходящую степень. Однако, возведение уравнения в произвольную степень не всегда приводит к равносильному уравнению.

Действительно, уравнение

(6)

является лишь следствием уравнения f (x) = g (x), то есть содержит все корни этого уравнения, но может иметь и другие корни. Уравнение (6) среди своих корней содержит ещё и корни уравнения f (x) = –g (x) (если таковые существуют), следствием которого оно также является. Итак, у уравнения (6) «больше» корней, чем у уравнения f (x) = g (x), а это как раз и обозначает, что при возведении в чётную степень могут появиться посторонние корни. В этом случае проверка необходима, как составляющий элемент решения. Она необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. В последнем случае иногда проще сделать проверку, чем доказать, что она не нужна. Именно поэтому проверка здесь является элементом решения.

К тому же, проверка может быть средством контроля правильности проделанных вычислений. Однако проверить полученные корни подстановкой не всегда легко. Лишние корни, которые могли появиться при возведении уравнения, например, в квадрат, могут быть отсеяны на основе следующего соображения.

Рассмотрим уравнение

(7)

Ясно, что если x = x₀ − решение этого уравнения, то обе части этого равенства при x = x₀ должны быть неотрицательны. Следовательно, потребовав дополнительно, чтобы g(x) ≥ 0, уравнение можно возвести в квадрат. Имеем следующее соотношение равносильности:

(8)

Система (8) действительно является равносильной уравнению (7). В самом деле, из системы (8) следует, что функция f (x) равна полному квадрату функции g (x), то есть для решения является неотрицательной.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Перейдём сразу к равносильной системе. Ответ. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Поиск по сайту: