Уравнения, содержащие модуль

Самый распространённый, а иногда и единственно возможный метод решения уравнений с модулем – раскрытие модуля согласно определению:

Пример 1

Решите уравнение |x – 5| – |2x + 8| = –12.

Решение

Выражения, стоящие под знаком абсолютной величины, обращаются в нуль при x = –4 и x = 5. Значит, нужно рассмотреть 3 случая: 1) x ≤ –4; 2) –4 < x ≤ 5; 3) x > 5. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. На рисунке схематично показано, какой знак будут иметь подмодульные выражения на каждом из трёх промежутков. Рисунок 3.1.8.1 1. x ≤ –4. В этом случае 2x + 8 < 0, x – 5 < 0. Следовательно, С учётом этого уравнение принимает вид   x = –25 удовлетворяет ограничению x ≤ –4. –4 < x ≤ 5. Этот корень удовлетворяет нужным ограничениям. 3. x > 5. Этот корень не удовлетворяет нужным ограничениям. Ответ. −25; 3.

Этот метод удобно применять, когда подмодульные выражения довольно просты (линейны), и можно сразу понять, где они обращаются в нуль. Рассмотрим простейшее уравнение с модулем вида

где функция f (x) проще функции g (x). Это уравнение равносильно следующей системе уравнений:

Убедиться в справедливости этого утверждения можно, перебрав все возможные варианты.

Если же под модулем стоит функция, найти корни которой затруднительно, то условие равносильности можно переписать так:

Пример 2

Решите уравнение 2|x² + 2x – 5| = x – 1.

Решение

Этому уравнению соответствуют два уравнения 2(x2 + 2x – 5) = x – 1 и 2(x2 + 2x – 5) = 1 – x, среди корней которых нужно отобрать удовлетворяющие условию x ≥ 1. Имеем: 1. Корни этого уравнения и x = –3, из которых подходит первый корень. 2. Корни этого уравнения Опять подходит только первый корень, так как второй заведомо отрицателен. Ответ.

В случае вложенных знаков модуля применим этот метод несколько раз. Здесь тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.

Пример 3

Решите уравнение

Решение

Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений которые можно переписать в виде   (*) Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два: что приводит к четырём уравнениям: Отсюда получаем 4 решения: среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна. Ответ. 3. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Поиск по сайту: