Геометричне зображення комплексного числа. Модуль та аргумент комплексного числа

Візьмемо на площині декартову прямокутну систему координат (рис. 5.1) Домовимось комплексне число зображати точкою площини, абсциса якої у вибраній нами декартовій прямокутній системі координат дорівнює а, а ордината – b. Так між множиною всіх комплексних чисел і сукупністю всіх точок площини встановлюємо взаємно однозначну відповідність: кожному комплексному числу відповідає одна і тільки одна точка площини і, навпаки, кожна точка відповідає одному і тільки одному комплексному числу . Очевидно, комплексне число 0 зображається точкою О площини, яку взято як початок координат.

Дійсні числа зображують точками осі абсцис , яку називають в цьому випадку дійсною віссю. Суто уявні числа зображують точками осі ординат Oy, тому цю вісь називають уявною. Площину, між точками якої і комплексними числами встановлено взаємно однозначну відповідність, щойно описаним способом, називають комплексною площиною.

Довільному комплексному числу ставимо у відповідність напрямлений відрізок комплексної площини , початком якого є початок координат О, а кінцем – точка М з координатами . Інакше, комплексному числу ставимо у відповідність напрямлений відрізок , що виходить з початку координат і проекція якого на вісь абсцис дорівнює а, а на вісь ординат – b. Числу 0 ставимо у відповідність точку О – початок координат. Так між множиною всіх комплексних чисел і сукупністю всіх напрямлених відрізків площини, що виходять з початку координат, встановлено взаємно однозначну відповідність. Очевидно, кожному дійсному числу а відповідає відрізок, що лежить на дійсній осі, а всякому суто уявному числу – відрізок, який лежить на уявній осі, і навпаки. Зокрема, одиничним відрізкам, що лежать на дійсній і уявній осях і мають напрями цих осей, відповідають числа 1 та і.

Як бачимо, комплексні числа, так само як і дійсні, характеризують реальні об’єкти. Якщо дійсні числа описують величини, які зображуються напрямленими відрізками, розташованими на прямій, то комплексні числа характеризують більш складні й більш загальні величини, які зображуються напрямленими відрізками площини.

Модулем комплексного числа називається число , яке позначається r або , тобто

(5.4)

Модуль комплексного числа завжди є дійсне невід’ємне число: , причому тоді і тільки тоді, коли .

Із визначення модуля комплексного числа випливає, що для будь-яких комплексних чисел мають місце співвідношення:

§ ;

§ , якщо ;

§ для будь-якого цілого числа п (при за умови, що ).

Якщо r – деяке додатне дійсне число, то на основі означення модуля комплексного числа одержуємо (див. рис. 5.2):

1) множина всіх чисел z, для яких , являє собою коло радіусом r з центром у початку координат;

2) множина всіх чисел z, для яких , являє собою круг радіусом r з центром у початку координат;

3)
множина всіх чисел z, для яких , являє собою зовнішню частину круга радіусом r з центром у початку координат.

Приклад. 5.8. Визначити на комплексній площині області, що задаються умовами: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

… 1) розв’язком є коло радіусу 5 з центром у початку координат;

2) розв’язком є круг радіусу 6 з центром у початку координат;

3) розв’язком є круг радіусу 3 з центром у точці ;

4) розв’язком є кільце, обмежене колами з радіусами 6 і 7 з центром в точці . †

Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливають наступні властивості:

1. Довжина вектора дорівнює .

2. Точки і симетричні відповідно дійсної осі (рис. 5.3).

3. Точки z і симетричні відносно точки .

4. Число геометрично відображається як вектор, який побудовано за правилом додавання векторів, які відповідають точкам і (рис. 5.4).

5. Відстань між точками і дорівнює (рис. 5.5).

Кут між дійсною віссю і вектором , що відраховується від додатного напрямку дійсної осі, називається аргументом комплексного числа (див. рис. 5.1). Якщо відлік ведеться проти руху годинникової стрілки, то величина кута вважається додатною, а якщо за рухом стрілки – від’ємною.

Аргумент комплексного числа записується так:

або (5.5)

Для числа аргумент не визначений.

Аргумент комплексного числа визначається неоднозначно: будь-яке комплексне число має нескінчену множину аргументів, які відрізняються один від одного на число, кратне . Найменше за абсолютною величиною значення аргументу із проміжку називається головним значенням аргументу.

Із означень тригонометричних функцій випливає, що якщо , то мають місце рівності:

(5.6)

Справедливе і обернене твердження, тобто якщо виконуються обидві рівності (5.6), то . Таким чином, всі значення аргументу можна знайти, розв’язуючи разом рівняння (5.6).

Алгоритм знаходження значення аргументу комплексного числа : визначити, в якій чверті знаходиться точка (використати геометричну інтерпретацію числа ); знайти в цій чверті кут , розв’язавши одне із рівнянь (5.6) або рівняння

(5.7)

та знайти всі значення аргументу числа z за формулою

Приклади. 5.9. Побудувати радіус-вектори, які відповідають комплексним числам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

… 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) (рис. 5.6). †

5.10. Знайти модуль і головне значення аргументу комплексних чисел: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

… 1) Оскільки ., то за формулою (5.4) отримаємо ; при цьому , тому що вектор, який відображає дане число, належить додатній вісі Oy;

2) ; знаходимо ; так як вектор, який відображає дане число, лежить на від’ємній вісі Oy, то ;

3) так як , точка, яка відображає дане число, лежить в І чверті, значить, ; ; ;

4) оскільки , то точка, яка відображає дане число, лежить в ІV чверті, отже, , значить, і . †

Поиск по сайту: