Показникова функція з комплексним показником. Формули Ейлера. Показникова форма комплексного числа

Ступінь з комплексним показником визначається рівністю:

Можна довести, що

тобто

(5.13)

Зокрема, при отримується відношення

(5.14)

яке називається формулою Ейлера.

Для комплексних показників залишаються в силі основні правила дій з показниками: при множенні чисел показники додаються, при діленні – віднімаються, при піднесенні до ступеня –перемножуються.

Показникова функція має період, який дорівнює , тобто . Зокрема, при одержується відношення .

Тригонометричну форму комплексного числа можна замінити показниковою формою:

(5.15)

Множення, ділення, піднесення до цілого додатного ступеня та добування кореня цілого додатного ступеня для комплексних чисел, заданих в показниковій формі, виконуються за наступними формулами:

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Приклади. 5.18. Знайти показникову форму чисел: 1) ; 2) .

… 1) для заданого числа знаходимо , , тобто ;

2) для заданого числа знаходимо , , тобто . †

5.19. Знайти алгебраїчну форму чисел: 1) ; 2) ; 3) .

… 1) За умовою маємо ;

2) з умови маємо ;

3) маємо . †

5.20. Знайти добуток і частку комплексних чисел та записати результати в тригонометричній формі: 1) ; ; 2) ; .

… 1) ;

;

2) ;

†

5.21. Обчислити 1) ; 2) , де , та представити результати в тригонометричній формі.

… 1) ;

2) .

;

; ; ;

. †

Формула Ейлера (5.14) встановлює зв’язок між тригонометричними функціями і показниковою функцією. Замінивши в ній у на і на , отримаємо

Додаючи і віднімаючи ці рівності, отримаємо

(5.20)

(5.21)

Ці дві прості формули, які також називають формулами Ейлера, виражають тригонометричні функції через показникові і дозволяють алгебраїчним шляхом отримати основні формули тригонометрії.

1. Чому виникла необхідність введення поняття комплексного числа?

2. Що називається комплексним числом; його уявною, дійсною частиною?

3. Коли два комплексні числа вважаються рівними; протилежними?

4. Які два комплексних числа називаються спряженими? Запишіть властивості взаємно спряжених чисел.

5. Що називається алгебраїчною формою комплексного числа? Сформулюйте алгоритми додавання, віднімання, множення і ділення комплексних чисел, записаних в алгебраїчній формі?

6. В чому полягає геометрична інтерпретація комплексних чисел?

7. Що являє собою модуль та аргумент комплексного числа? Які є властивості модуля? В чому полягає особливість аргумента комплексного числа?

8. Як записується тригонометрична форма комплексного числа? Чи будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі?

9. За якими формулами відбувається перехід від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної?

10. Запишіть формули, які дозволяють оперувати (додавати, віднімати, множити, ділити, підносити до ступеня, добувати корінь) комплексними числами, записаними в тригонометричній формі.

11. Яка форма комплексного числа називається показниковою? Як додати, відняти, помножити, поділити, піднести до ступеня, добути корінь з комплексного числа, записаного в показниковій формі?

12. На понятті якої функції базується формула Ейлера? Де, окрім теорії комплексних чисел, ця формула має застосування?

1. Розв’язати квадратні рівняння:

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) .

2. Побудувати точки, які відповідають даним комплексним числам:

1) –1; 2) і; 3) ; 4) –3 і; 5) 2–3 і; 6) -4–2 і; 7) 3+ і; 8) -6+2 і; 9) 2+2 і; 10) -2+2 і; 11) -2–2 і.

3. Знайти суму, різницю, добуток і частку комплексних чисел і та зобразити геометрично дані числа і результати операцій:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) .

4. Що являє собою геометрично множина всіх комплексних чисел , у яких

1) а =2; 2) ; 3) ; 4) та ; 5) ; 6) .

5. Подати наступні комплексні числа в тригонометричній формі:

1) 1; 2) –1; 3) і; 4) – і; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

6. Дано числа , , . Обчислити:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7. Піднести до ступеня: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

8. Добути корені та результат зобразити на комплексній площині:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

9. Записати в показниковій формі: 1) –1– і; 2) ; 3) –3; 4) 2 і; 5) ; 6) .

10. Знайти тригонометричну та алгебраїчну форму комплексних чисел:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

11. Обчислити добуток та частку комплексних чисел та записати результати в алгебраїчній формі:

1) та ; 2) та .

12. Знайти і , представити результати в алгебраїчній формі та зобразити їх на площині: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) z= –16.

Поиск по сайту: