Введення поняття комплексного числа

При розв’язанні квадратних алгебраїчних рівнянь виникла проблема тоді, коли дискримінант виявлявся числом від’ємним, і стало зрозуміло, що дуже корисно і зручно не ігнорувати символ і вирази (де ), а оперувати з ними (чисто формально!), як із звичайними числами. А саме, якщо позначити та оперувати з виразами за звичайними правилами

(5.1)

то при цьому виконуються всі звичайні властивості додавання та множення. Отже, з цієї точки зору вирази мають таке саме право називатися числами, як вираз (де ) – раціональними числами, або нескінченні десяткові дроби – дійсними числами.

Якщо вважати, що – це просто дійсне число а, що і – це , то у відповідності з (5.1) і, отже, вираз утворюється з та шляхом заданого в (5.1) алгоритму множення та додавання, тобто .

Отже, будь-яке квадратне рівняння виду , де р і q – дійсні числа, має два корені, тобто:

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два різних дійсних кореня ;

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два рівних дійсних кореня ;

§ якщо дискримінант , то дане рівняння має два різних комплексних кореня

.

Приклади. 5.1. Розв’язати рівняння .

… Знаходимо дискримінант .

За останньою формулою маємо , або та . †

5.2. Розв’язати рівняння .

… Знаходимо дискримінант , отже . †

Подібне твердження відоме під назвою „основна теорема алгебри”, доведення якої було дане Гаусом в кінці XVIII ст., має місце для алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня з довільними комплексними коефіцієнтами.

Таким чином, ми отримуємо своєрідне розширення множини дійсних чисел, породжене приєднанням до R уявного елементу , тобто такого, що .

Поиск по сайту: