|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тригонометрична форма комплексного числа. дії над комплексними числами, заданими у тригонометричній форміНехай – модуль, а – одне із значень аргументу комплексного числа . Оскільки із співвідношення (5.6) випливає, що , то (5.8) Таким чином, будь-яке комплексне число можна записати за формулою (5.8), де r – модуль, а – одне із значень аргументу цього числа. Справедливе і обернене твердження: якщо комплексне число представлене у вигляді (5.8), де , то . Представлення комплексного числа у вигляді де , називається тригонометричною формою запису комплексного числа. Алгоритм представлення комплексного числа в тригонометричній формі: знайти модуль цього числа та обчислити одне із значень аргументу цього числа. Зауваження. В силу багатозначності тригонометрична форма комплексного числа також неоднозначна. Добуток комплексних чисел і знаходиться за формулою (5.9) тобто Правило множення комплексних чисел, заданих в тригонометричній формі: при множенні двох комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, а аргументи додаються. Частка комплексних чисел і , причому , знаходиться за формулою , (5.10) тобто . Правило ділення комплексних чисел, заданих в тригонометричній формі: при діленні комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. Для піднесення комплексного числа до n -го ступеня використовується формула (5.11) яка називається формулою Муавра. Для добування кореня n -го ступеня із комплексного числа використовується формула (5.12) де – арифметичній корінь n -го ступеня, .
Приклади. 5.11. Представити в тригонометричній формі наступні числа: 1) 2; 2) 6 і; 3) ; 4) ; 5) . 1) і так як вектор, який відображає число 2, лежить на додатній піввісі Ox, то головне значення аргументу , тобто або ; 2) і оскільки вектор, який відображає число 6 і, лежить на додатній піввісі Oy, головне значення аргументу ; тому або ; 3) , тому точка, яка відображає число z, лежить у ІІ чверті, тобто , , значить, або ; 4) , тому точка, яка відображає число z, лежить у ІV чверті; , значить, або ; 5) , тому точка, яка відображає число z, лежить у ІІІ чверті; , тоді або 5.12. Представити в алгебраїчній формі числа: 1) ; 2) . 1) Підставивши значення в дане рівняння, отримаємо ; 2) маємо . 5.13. Знайти добуток: . За формулою (5.9) одержимо 5.14. Виконати ділення: . За формулою (5.10) одержимо 5.15. Піднести до ступеня: 1) ; 2) . 1) За формулою Муавра одержимо ; 2) подамо число в тригонометричній формі, оскільки , то , значить, точка, яка відображає дане число, лежить в IV чверті, тому , тобто , отже, Значить, 5.16. Використовуючи формулу Муавра, довести справедливість наступних тотожностей: Поклавши у відношенні (5.11) і , одержимо або Із умови рівняння двох комплексних чисел випливає, що Аналогічно, покладаючи в співвідношенні (5.11) і , маємо тобто Із умови рівності двох комплексних чисел випливає: 5.17. Добути корені із комплексних чисел: 1) ; 2) . 1) Подамо число і у тригонометричній формі: . За формулою (5.12) одержимо , якщо , то , якщо , то ; 2) Представимо число 1 у тригонометричній формі: . За формулою (5.12) знайдемо якщо , то , якщо , то , якщо , то .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.009 сек.) |