|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Показательные и логарифмические уравнения
Показательные уравнения Уравнения вида af (x) = b, a > 0, a ≠ 1, b > 0 По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что Если f (x) − алгебраическая функция, то и это уравнение будет алгебраическое, которое можно решить с помощью стандартных методов (так как − это конкретное число, такое же, как и 5, π, и т. п.). Уравнения вида Такие уравнения решаются в два этапа: a) С помощью замены это уравнение сводится к уравнению F (t) = 0, у которого ищутся все его положительные корни (пусть таких корней ровно n штук). b) Для каждого решается уравнение типа рассмотренного выше: Эти два типа показательных уравнений являются основными, к ним сводятся все остальные методы. Пример 1 Решите уравнение Решение
Уравнения вида af (x) = ag (x), a > 0, a ≠ 1 В силу свойств монотонности показательной функции это уравнение равносильно уравнению f (x) = g (x). Пример 2 Решите уравнение Решение
Пример 3 Решите уравнение Решение
Уравнения вида af (x) = bg (x), a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 При решении таких уравнений применяется стандартный приём. Прологарифмируем обе его части по любому основанию. В нашем случае удобно логарифмировать по основанию a (или b), то есть по основанию показательной функции, входящей в уравнение:
А это уравнение уже можно решать стандартными алгебраическими способами, если f (x) и g (x) – алгебраические выражения. Пример 4 Решите уравнение Решение
Замечание. Рассмотренный приём перехода от уравнения af (x) = bg (x) к уравнению f (x) = g (x) loga b или, в общем случае, переход от уравнения
к уравнению
называется логарифмированием. Заметим, что переход (1) → (2) в общем случае нарушает равносильность, так как логарифм существует только у неотрицательного числа. Например, логарифмирование обеих частей уравнения x = x3, которое имеет вид (1), приводит нас к неравносильному уравнению lg x = lg x3 (область определения сузилась). Действительно,
Таким образом, произошла потеря корней исходного уравнения. Как видно, логарифмирование не является «безобидной» операцией, но в процессе решения уравнения типа af (x) = bg (x) эти неприятности не возникают, так как обе его части положительны.
Уравнения вида loga f (x) = b, a > 0, a ≠ 1 Здесь предполагается, что f (x) − функция, уравнения с которой мы уже умеем решать. По определению логарифма из основного логарифмического тождества получаем, что f (x) = ab. Это уравнение можно решать любыми доступными методами, поскольку ab – это число. Уравнения вида Совершенно аналогично показательным уравнениям, уравнения такого типа решаются в два этапа.
Понятно, что совершенно не обязательно уравнение будет иметь рассмотренный вид. А значит, в процессе преобразований логарифмических уравнений следует стремиться к тому, чтобы привести все входящие в уравнение логарифмы к одному основанию. При этом необходимо помнить об области определения рассматриваемых выражений, стараясь, чтобы при преобразовании она не уменьшалась, − те корни, которые, возможно, будут приобретены, можно будет отсеять проверкой. Пример 5 Решите уравнение Решение
Пример 6 Решите уравнение Решение
Уравнения вида loga f (x) = loga g (x), a > 0, a ≠ 1
ОДЗ данного уравнения: В силу монотонности логарифмической функции, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Следовательно, в ОДЗ имеем: Полная система равносильности выглядит так: Из двух последних систем выбирается та, которая проще (это зависит от конкретного вида функций f (x) и g (x)). На практике, как правило, проще решить уравнение f (x) = g (x) и проверить для его корней положительность одной из функций: f (x) > 0 или g (x) > 0, так как из равенства одной из этих функций следует положительность и другой. Рассмотренный переход от уравнения loga f (x) = loga g (x) к уравнению f (x) = g (x) называется потенцированием. Заметим, что потенцирование не является равносильным преобразованием. Область определения уравнения при потенцировании расширяется, так как второе уравнение определено при всех x, для которых определены функции f (x) и g (x), а первое − только при тех x, для которых f (x) > 0 и g (x) > 0. Пример 7 Решите уравнение Решение
Пример 8 Решите уравнение Решение
|