АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку

Читайте также:
  1. Абезпечення громадського порядку і громадської безпеки.
  2. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  3. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  4. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  5. Вкажіть номер неправильної відповіді. Для виконання завдань по охороні громадського порядку організовуються:
  6. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  7. Головна причина повільного зниження викидів і зменшення рівнів забруднення — використання застарілих і неефективних технологій.
  8. Диференціальні рівняння вищих порядків
  9. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ МЕТОД ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ
  10. Диференціальні рівняння другого порядку
  11. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
  12. Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

 

 
 

І. Рівняння вигляду у (n) = f (x). Після n -кратного інтегрування одержуємо загальний розв¢язок

 

ІІ. Рівняння не містить шуканої функції та її похідних до порядку k -1 включно:

F (x, y (k), y (k +1),..., y (n)) = 0 (1)

Порядок такого рівняння можна знизити на k одиниць заміною y(k) (х) = р(х). Тоді рівняння (1) набуває вигляду:

F (x, р, р ¢,..., р (n - k)) = 0

Із останнього рівняння, якщо це можливо, визначаємо р (x, C1, C2,...,C n-k), а потім знаходимо у із рівняння y (k) = f (x, C1, C2 ,..., C n-k) k -кратним інтегруванням.

ІІІ. Рівняння не містить незалежну змінну:

F (y, у¢, у¢¢,..., y(n)) = 0.

 
 

Підстановка у¢ = р дозволяє знизити порядок рівняння на одиницю. При цьому р розглядаємо як нову невідому функцію від у: р = р (у).Всі похідні у¢, у¢¢,..., у(n) виражаються через похідні від нової невідомої функції р від у:

Підставляючи ці вирази замість у¢, у¢¢,..., у(n) в рівняння, одержуємо диференціальне рівняння (n -1)-ого порядку.

П р и к л а д 8. Проінтегрувати рівняння у ¢¢ + у ¢ tgх = sin 2 x.

Р о з в¢ я з о к. Це рівняння не містить у. Вводимо нову змінну y¢ = z, y¢¢ = z¢, одержимо: z¢ + z tgх = sin 2 x.

Це лінійне диференціальне рівняння І порядку. Поклавши в ньому z = u v, z ¢ = u¢ v + u v ¢, маємо:

u¢ v + u v ¢ + u v tgх = sin 2 x,

u¢ v + u(v ¢ + v tgх) = sin 2 x,

Визначаємо v, поклавши v ¢ + vtgx = 0:

 
 

звідси ln | v | = - ln | cosx |, або v = cosx.

Визначаємо u(x):

u¢ cosx = 2 sinx cosx, du = 2 sinx dx, u = -2 cosx + C1.

Отже, z = (-2 cosx + C1) cosx, z = -2 cos 2 x + C1 cosx.

 
 

Повертаючись до змінної у, одержимо:

Це і буде загальним розв¢язком даного диференціального рівняння.

П р и к л а д 9. Проінтегрувати диференціальне рівняння у¢¢¢ = (у¢¢) 2.

 
 

Р о з в¢ я з о к. Введемо нову функцію z = y¢¢, тоді одержимо рівняння першого порядку відносно невідомої функції z (x):

 
 

Відокремлюємо змінні і проінтегруємо:

 
 

Звідси

 
 

Послідовно інтегруючи, маємо:

Замінивши С2 + 1 на С2, а С3 + С1 на С3, одержуємо загальний розв¢язок:

y = - (x + C1) ln (x + C1) + C2 х + C3.

 

П р и к л а д 10. Проінтегрувати рівняння 2(у ¢)2 = (у - 1) y ¢¢.

Р о з в¢ я з о к. Поклавши в цьому рівнянні у¢ = р, у¢¢ = , одержимо диференціальне рівняння першого порядку:

 
 

Прирівнюючи перший множник до нуля, маємо:

Перевірка показує, що у = С (у ¢ = 0, у ¢¢ = 0) задовольняє дане рівняння, отже, є розв¢язком.

 
 

Загальний розв¢язок даного диференціального рівняння одержимо, проінтегрувавши рівняння з відокремлюваними змінними = 0:

Отже, загальний інтеграл має вигляд

(С1 х + С2)(1 - у) = 1.

 

¨¨¨

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)