АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Лінійні рівняння 1-го порядку

Читайте также:
  1. Абезпечення громадського порядку і громадської безпеки.
  2. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  3. Бюджетні обмеження споживача, бюджетне рівняння та фактори впливу на бюджетну лінію.
  4. Бюджетні обмеження. Вплив зміни доходу або ціни товару на бюджетні обмежені обмеження. Нелінійні бюджетні обмеження.
  5. Види матриць. Лінійні дії над матрицями та їх властивості. Транспонування матриць. Добуток матриць
  6. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
  7. Виклад суті згаданого способу почнемо з визначника ІІ-го порядку.
  8. Вкажіть номер неправильної відповіді. Для виконання завдань по охороні громадського порядку організовуються:
  9. Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
  10. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної.
  11. Грошовий обіг та його закони. Рівняння грошової та товарної мас (рівняння Ірвена Фішера). Грошові агрегати.
  12. Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну

Рівняння вигляду

у ¢ + Р(х) у = Q(x) (3)

де Р(х) і Q(x) - неперервні функції х, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Це рівняння зводиться до двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки y = u(x) × v (x). Тоді у ¢ = u¢(x) v (x) + u(x) v ¢(x).

 
 

Підставляючи у і у ¢ в дане рівняння u¢ v + u v¢ + Р(x)u v = Q(x), після групування одержимо:

Так як у є добуток двох функцій, то одна з них може бути вибрана довільно, друга ж повинна визначатись рівнянням (3¢).

 
 

Виберемо u(x) так, щоб u¢ + uP(x) = 0, для цього достатньо, щоб u(х) було частинним розв¢язком рівняння з відокремлюваними змінними:

 
 

Проінтегрувавши його, знайдемо u(х):

 
 

Підставляємо в рівняння (3¢) значення u і одержуємо друге диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

 
 

загальний розв¢язок якого v = v (x, C):

Отже, загальним розв¢язком рівняння (3) буде у = u(х) v (x, C) і

 
 

В ряді випадків диференціальне рівняння першого порядку є лінійним не відносно у, а відносно х, тобто може бути приведене до вигляду:

 
 

Метод інтегрування рівняння (4) такий же, як і для рівняння (3), але змінні х і у змінюють свої ролі: у вважається аргументом, а х = х (у) - невідомой функцієй.

 
 

П р и к л а д 6. Розв¢язати рівняння

 
 

Р о з в¢ я з о к. Покладаючи y = u v, знаходимо у¢ = u¢ v + u v¢. Підставляємо значення у і у ¢ в задане рівняння, дістаємо

 
 

Оскільки одну з функцій можна вибрати довільно, то виберемо таку функцію v, щоб вираз у дужках дорівнював нулю:

 
 

Тоді для визначення u маємо рівняння

 
 

Розв¢язуючи рівняння (*), знайдемо його частинний розв¢язок v:

 
 

Підставимо значення v у рівняння (**) і знайдемо u як загальний розв¢язок цього рівняння:

 
 

Отже, шуканий розв¢язок заданого рівняння

 
 

Для знаходження частинного розв¢язку підставимо задані значення змінних (початкові умови) в останнє рівняння, звідки знайдемо значення довільної сталої С:

Отже, шуканий частинний розв¢язок

 
 

П р и к л а д 7. Проінтегрувати рівняння

 
 

Р о з в¢ я з о к. Це рівняння зводиться до рівняння лінійного відносно х і х¢:

х¢ = x cos y + sin 2y, або х¢ - х cos y = sin 2y.

 
 

Покладемо х = u (y) v (y), x¢ = u¢ v + u v ¢, підставимо ці значення в рівняння і погрупуємо члени так, як це ми робили в попередньому прикладі:

 
 

Покладемо v¢ - v cos y = 0, тоді

 
 

звідси частинний розв¢язок:

 
 

Знайдемо u із рівняння u¢ v = sin 2 y:

 
 

Нехай siny = t, cosуdy = dt, тоді

 

Загальний розв¢язок даного рівняння буде

 
 

 
 

або

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)