 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Деякі технічні задачі приводять до розв¢язування системи двох або більше диференціальних рівнянь. Розглянемо системи диференціальних рівнянь першого порядка з двома невідомими функціями. Перехід до загального випадку не викликає яких-небудь принципових утруднень.
 |
В нормальній формі система двох диференціальних рівнянь першого порядку має вигляд:
де t – аргумент,
х, у – шукані функції від t.
Розв¢язком системи (1) називається будь-який набір двох функцій:
х = x(t), y = y(t) (2)
що обертає обидва рівняння системи в тотожності. Задача Коши для системи (1) полягає у тому, щоб знайти такий розв¢язок (2), який при t = t0 приймав би задані значення:
х (t0) = а, y(t0) = b (3)
Загальний розв¢язок системи (1) містить дві довільні сталі С1, С2, фіксуючи які знаходять будь-який частинний розв¢язок у визначеній області зміни початкових умов t0, a, b.
Метод розв¢язування систем із двох рівнянь першого порядку полягає в тому, що після диференціювання одного з рівнянь, систему зводимо до розв¢язку одного диференціального рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції.
 |
П р и к л а д 19. Знайти загальний розв¢язок системи диференціальних рівняннь
Р о з в¢ я з о к. Спочатку систему (4), якщо можливо, приведемо до вигляду (1), тобто, до нормальної форми. Для цього потрібно по черзі виключити із рівнянь системи 
. Помножимо обидві частини першого рівняння на –4 і додавши до другого, виключимо 
. Потім, додаючи перше і друге рівняння, виключаємо 
. Одержимо:
 |
Знайдемо, наприклад, із другого рівняння системи (5) у:
у = –5 х ¢ + х (6)
знаходимо у = –5 х ¢¢ + х¢ і підставляємо у і у¢ в перше рівняння системи. Будемо мати:
25х¢¢ – 5х¢ + 9х + 45х¢ – 9х = 0, або 25х¢¢ + 40х¢ = 0, або 5х¢¢ + 8х¢ = 0
Розв¢язуючи ці рівняння, маємо його характеристичне рівняння
5 k 2+ 8 k = 0, звідси k 1 = 0, k 2 = –8/5.
Загальний розв¢язок буде:
х = С1 + С2е-8/5t
 |
Продиференцюємо: х ¢ = -8/5С2е-8/5 t і підставимо х і х¢ в рівність (6), знайдемо другу невідому функцію у:
Отже, загальним розв¢язком системи будуть функції
 |
П р и к л а д 20. Знайти загальний розв¢язок системи
 |
Р о з в¢ я з о к.. Диференцюємо по t перше рівняння:
х¢¢ + 2 х¢ - 4 у¢ = 0,
потім виключаємо у і у¢ з одержаного рівняння і двох даних рівнянь
у¢ = 3 t 2 - x + 3 y;
4 у = x¢ + 2 x,
в результаті одержимо одне диференціальне рівняння другого порядку з однією невідомою функцієй х:
х¢¢ + 2 х¢ - 4(3 t 2 - х + 3 y) = 0,
х¢¢ + 2 х¢ - 12 t 2 +4 х - 3 х ¢ - 6 х = 0,
х¢¢- 2 х¢ - 2 х = 12 t 2 (7)
Розв¢язуємо його як лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Характеристичне рівняння k2 - k - 2= 0 має корені k1 = 2 k2 = -1. Загальний розв¢язок однорідного рівняння буде:
х одн = С1е2t + C2e-t.
Частинний розв¢язок х част. шукаємо у вигляді х част. = Аt2 + Bt + C.
Знаходимо х¢ част = 2At + B, х¢¢ част = 2A.
Підставляємо х част, х¢ част і х¢¢ част в рівняння (7):
2А - 2Аt - B - 2Аt2 - 2Bt - 2C = 12 t2.
Прирівнюючи коєфіцієнти при однакових степенях t лівої і правої частин останьої рівності, маємо:
 |
Отже,
х (t) = C1e2 t + C2e-t - 6 t 2 + 6 t -9.
Другу невідому функцію у (t) знаходимо з першого рівняння системи, підставляючи в нього знайдене значення х (1) і похідної
 |
х¢ (1) = 2С1е2t - С2e-t - 12t + 6:
 |
Таким чином, загальним розв¢язком даної системи буде сукупність знайдених функцій:
¨¨¨
Поиск по сайту: