АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами

Читайте также:
  1. I. Основні риси політичної системи України
  2. V. 2. Механічне описання молекулярної системи
  3. Абезпечення громадського порядку і громадської безпеки.
  4. Автоматизовані системи управління процесом розформування составів на сортувальних гірках
  5. Адаптивні типи людини. Антропоекологічні системи і здоров'я.
  6. Акти офіційного тлумачення (інтерпретаційні акти) – це правові акти, прийняті компетентними державними органами, що містять роз’яснення норм права або порядку їх застосування.
  7. Аналіз роботи системи
  8. Англо-американський (прецедентний) тип правової системи
  9. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн
  10. Валютний ринок і валютні курси. Системи гнучких і фіксованих валютних курсів: порівняльна ефективність
  11. Валютний ринок і валютні системи
  12. Валютні і фінансові елементи системи

 

Деякі технічні задачі приводять до розв¢язування системи двох або більше диференціальних рівнянь. Розглянемо системи диференціальних рівнянь першого порядка з двома невідомими функціями. Перехід до загального випадку не викликає яких-небудь принципових утруднень.

 
 

В нормальній формі система двох диференціальних рівнянь першого порядку має вигляд:

де t – аргумент,

х, у – шукані функції від t.

Розв¢язком системи (1) називається будь-який набір двох функцій:

х = x(t), y = y(t) (2)

що обертає обидва рівняння системи в тотожності. Задача Коши для системи (1) полягає у тому, щоб знайти такий розв¢язок (2), який при t = t0 приймав би задані значення:

х (t0) = а, y(t0) = b (3)

Загальний розв¢язок системи (1) містить дві довільні сталі С1, С2, фіксуючи які знаходять будь-який частинний розв¢язок у визначеній області зміни початкових умов t0, a, b.

Метод розв¢язування систем із двох рівнянь першого порядку полягає в тому, що після диференціювання одного з рівнянь, систему зводимо до розв¢язку одного диференціального рівняння другого порядку відносно однієї невідомої функції.

 
 

П р и к л а д 19. Знайти загальний розв¢язок системи диференціальних рівняннь

Р о з в¢ я з о к. Спочатку систему (4), якщо можливо, приведемо до вигляду (1), тобто, до нормальної форми. Для цього потрібно по черзі виключити із рівнянь системи . Помножимо обидві частини першого рівняння на –4 і додавши до другого, виключимо . Потім, додаючи перше і друге рівняння, виключаємо . Одержимо:

 
 

Знайдемо, наприклад, із другого рівняння системи (5) у:

у = –5 х ¢ + х (6)

знаходимо у = –5 х ¢¢ + х¢ і підставляємо у і у¢ в перше рівняння системи. Будемо мати:

25х¢¢ – 5х¢ + 9х + 45х¢ – 9х = 0, або 25х¢¢ + 40х¢ = 0, або 5х¢¢ + 8х¢ = 0

Розв¢язуючи ці рівняння, маємо його характеристичне рівняння

5 k 2+ 8 k = 0, звідси k 1 = 0, k 2 = –8/5.

Загальний розв¢язок буде:

х = С1 + С2е-8/5t

 

 
 

Продиференцюємо: х ¢ = -8/5С2е-8/5 t і підставимо х і х¢ в рівність (6), знайдемо другу невідому функцію у:

Отже, загальним розв¢язком системи будуть функції

 
 

П р и к л а д 20. Знайти загальний розв¢язок системи

 
 

Р о з в¢ я з о к.. Диференцюємо по t перше рівняння:

х¢¢ + 2 х¢ - 4 у¢ = 0,

потім виключаємо у і у¢ з одержаного рівняння і двох даних рівнянь

у¢ = 3 t 2 - x + 3 y;

4 у = + 2 x,

в результаті одержимо одне диференціальне рівняння другого порядку з однією невідомою функцієй х:

х¢¢ + 2 х¢ - 4(3 t 2 - х + 3 y) = 0,

х¢¢ + 2 х¢ - 12 t 2 +4 х - 3 х ¢ - 6 х = 0,

х¢¢- 2 х¢ - 2 х = 12 t 2 (7)

 

Розв¢язуємо його як лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Характеристичне рівняння k2 - k - 2= 0 має корені k1 = 2 k2 = -1. Загальний розв¢язок однорідного рівняння буде:

х одн = С1е2t + C2e-t.

Частинний розв¢язок х част. шукаємо у вигляді х част. = Аt2 + Bt + C.

Знаходимо х¢ част = 2At + B, х¢¢ част = 2A.

Підставляємо х част, х¢ част і х¢¢ част в рівняння (7):

2А - 2Аt - B - 2Аt2 - 2Bt - 2C = 12 t2.

Прирівнюючи коєфіцієнти при однакових степенях t лівої і правої частин останьої рівності, маємо:

 
 

Отже,

х (t) = C1e2 t + C2e-t - 6 t 2 + 6 t -9.

Другу невідому функцію у (t) знаходимо з першого рівняння системи, підставляючи в нього знайдене значення х (1) і похідної

 
 

х¢ (1) = 2С1е2t - С2e-t - 12t + 6:

 
 

Таким чином, загальним розв¢язком даної системи буде сукупність знайдених функцій:

¨¨¨


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)