ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА, МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

1. В основе физики и всего естествознания в целом лежат фундаментальные законы сохранения материи и движения. Важно понять, что все эти законы (законы сохранения импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда и др.) справедливы не всегда, не во всякой системе тел, а только при соблюдении вполне определённых условий. Чтобы понять, при каких условиях справедлив тот или иной закон сохранения, нам придется ввести некоторые предварительные понятия.

2. Совокупность тел (или частиц), рассматриваемых в данной задаче, образует физическую систему.

На каждое из тел системы могут действовать как внутренние, так и внешние силы (первые действуют со стороны других тел системы, вторые - со стороны внешних тел).

Система тел (или частиц) называется замкнутой или изолированной, если на неё не действуют внешние силы. Понятие замкнутой системы является абстракцией. Строго говоря, таких систем в природе не существует. Однако может случиться, что действие одних внешних сил уравновешивается или почти уравновешивается действием других внешних сил.

Если результирующая всех внешних сип, действующих на каждое тело системы, равна нулю или пренебрежимо мала, по сравнению с результирующей всех внутренних сил, то такую систему можно считать замкнутой.

Примеры почти изолированных систем:

1) солнечная система в целом (действие звезд мало);

2) биллиардные шары на горизонтальном столе (сила тяготения, действующая на каждый из шаров, почти уравновешивается реакцией стола, сила трения качения невелика).

Если результирующая внешних сил не равна нулю, то система является незамкнутой.

Какой бы ни была система, геометрическая сумма всех внутренних сил системы всегда равна нулю (так как в эту сумму входят попарно все силы действия и все силы противодействия). (11.1)

3. Рассматривая вопрос о работе, мы установили, что силы могут быть консервативными и неконсервативными (работа первых не зависит от форм пути, последних - зависит).

Физическая система, в которой действуют только консервативные силы, называется консервативной или потенциальной.

Система, в которой, кроме консервативных, действуют ещё и неконсервативные силы, называется неконсервативной или непотенциальной.

Примеры консервативных систем: Земля - Солнце (действуют только силы тяготения); Земля - тело в отсутствие сопротивления воздуха (действуют силы тяготение); ядро атома – электрон (действуют

электростатические силы и силы тяготения).

4. Установим условия, при которых импульс отдельного тела или системы тел сохраняется.

Назовём импульсом системы геометрическую сумму импульсов всех тел, входящих в эту систему.

Условия сохранения импульса отдельного тела непосредственно вытекает из второго закона Ньютона:

(11.2)

Если на тело не действуют силы или результирующая всех сил, действующих на тело, равна нулю, то импульс тела сохраняется неизменным: и (11.3)

Рассмотрим систему тел (рис.21). Пусть в системе три взаимодействующих движущихся тела. Обозначим импульсы этих тел в некоторый произвольный момент времени t соответственно:

Изменение импульса каждого из тел обусловлено действием внешних и внутренних сил (рис.44):

(11.4)

(11.5) (11.6)

здесь малыми буквами f обозначены внутренние силы; большими F - внешние силы, например, - это сила, которая действует на первое тело со стороны второго тела; - результирующая всех внешних сил, действующих на 1-е тело.

Найдем изменение импульса системы, для чего геометрически сложим левые и правые части уравнений (11.4) - (11.6). При сложении учтем, что и и т.д. (по третьему закону Ньютона). Тогда получим:

Или кратко:

(11.7)

где - импульс системы

- результирующая всех внешних сил.

Если система является изолированной, то , и, следовательно, , откуда (11.8)

Импульс (количество движения) замкнутой системы тел есть величина постоянная. Это и есть формулировка закона сохранения импульса (количества движения) системы.

Если система обменивается движением с внешней средой, т.е. не является изолированной, изменение её импульса за время dt равно импульсу результирующей силы, действующей на систему, т.е. имеет место соотношение (11.7). Полученный результат легко обобщить на систему, состоящую из любого числа тел.

Обратим внимание на то, что уравнения (11.4) - (11.6) составлены для одного и того же интервала времени dt, а - это силы, действующие на тела в один и тот же момент времени t. Соотношение (11.8) означает следующее: в замкнутой системе тел векторная сумма импульса всех тел до и после взаимодействия равны:

(11.9)

или

(11.10)

где - скорости тел после их взаимодействия.

Закон сохранения импульса можно формулировать и применять не только для полного вектора импульса, но и для его компонент (составляющих ). Если в данном направлении внешние силы не действуют или компенсируются, то составляющая импульса вдоль этого направления не изменяется.

5. Рассмотрим, при каких условиях сохраняется момент импульса отдельного тела и системы тел.

Геометрическую сумму моментов импульса всех тел системы назовём моментом импульса системы.

Условия сохранения момента импульса отдельного тела вытекают из основного уравнения динамики вращательного движения:

(11.11)

Если результирующий момент всех внешних сил равен нулю, то момент импульса тела остается величиной постоянной.

Если , то и (11.12)

Рассмотрим систему взаимодействующих между собой и с внешней средой вращающихся тел.

Пусть в системе три тела. В произвольный момент времени t моменты импульсов этих тел равны соответственно:

Изменение момента импульса каждого из тел обусловлено действием как внутренних, так и внешних вращательных моментов.

Тогда согласно основному закону динамики вращательного движения (изменение момента импульса тела равно импульсу момента действующих сил):

(11.13)

(11.14)

(11.15)

здесь - вращательный момент, действующий на первое тело со стороны второго. - полный вращательный момент, действую-щий на первое тело со стороны внешних тел (то же для второго и третьего тел).

Найдём изменения момента импульса системы за время dt, для чего почленно сложим уравнения (11.13)-(11.15). При сложении учтём, что и т.д. (по третьему закону Ньютона),

получим ,

где момент импульса системы;

результирующий момент внешних сил.

Тогда имеем

(11.16)

Если на тела системы внешние вращательные моменты не действуют , то и (11.17)

Таким образом, момент импульса замкнутой системы тел есть величина постоянная.

Если система не является замкнутой, то изменение момента импульса этой системы, равно импульсу внешнего вращательного момента действующего на систему, т.е. имеет место соотношение (11.16).

Полученный вывод можно обобщить на систему, состоящую из любого числа тел.

В замкнутой системе тел может происходить передача вращательного движения от одного тела к другому, но так, что геометрическая сумма моментов импульса всех тел все время остаётся постоянной:

(11.18)

6. Сформулируем закон сохранения механической энергии. Еслитело перемещается, то оно обладает кинетической энергией. Мы знаем, что изменение кинетической энергии может быть обусловлено работой как консервативных, так и неконсервативных сил:

(11.19)

в этом выражении - элементарная работа, совершаемая всеми консервативными силами; - элементарная работа, совершаемая всеми неконсервативными силами.

Если и и

т.е. кинетическая энергия тела не изменится, если работа, совершаемая всеми приложенными к нему силами, равна нулю.

Как известно, работа, совершаемая консервативной силой, равна убыли потенциальной энергии: .

Учитывая это, соотношение (11.19) можно переписать:

или ,

но где - полная механическая энергия, а - её изменение.

Следовательно, (11.20)

Таким образом, изменение полной механической энергии тела обусловлено работой только неконсервативных сил. Если на тело не действуют неконсервативные силы (), то полная механическая энергия этого тела сохраняется неизменной[5].

и (11.21)

7. Этот вывод можно обобщить на систему, состоящую из любого числа взаимодействующих тел. Только в случае системы тел необходимо иметь в виду следующее: неконсервативные силы, действующие на тела системы, могут быть и внутренними и внешними.

Поэтому для того, чтобы сохранялась механическая энергия системы тел, необходимо, чтобы система была замкнутой (не действуют внешние неконсервативные силы) и консервативной (не действуют внутренние неконсервативные силы)[6].

Таким образом, полная механическая энергия замкнутой консервативной системы есть величина постоянная.

- потенциальная энергия системы как целого;

- кинетическая энергия i -готела;

- кинетическая энергия системы.

В замкнутой консервативной системе могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно, при-

чём убыль кинетической энергии всегда равна приращению потенциальной энергии и наоборот.

8. Если внутри замкнутой системы действуют неконсервативные силы, то механическая энергия такой системы постепенно уменьшается, превращаясь в другие, немеханические формы энергии. Мерой этого превращения является работа, совершаемая неконсервативными силами.

Замкнутые неконсервативные системы, механическая энергия которых убывает, называются диссипативными[7]

Представим, к примеру, движение парашютиста после того, как он раскрыл парашют. Это движение является, в первом приближении, равномерным. Так как =const, кинетическая энергия парашютиста во время движения не изменяется: E_к = const

Потенциальная энергия парашютиста уменьшается: парашютист приближается к Земле. Следовательно, полная механическая энергия замкнутой системы Земля – парашютист – атмосфера уменьшается. Эта энергия рассеивается в атмосфере, превращаясь в энергию хаотического движения молекул воздуха. Мерой этого превращения является работа сил сопротивления воздуха, действующих на парашютиста во время его движения.

В принципе, любая реальная механическая система диссипативна, ибо в любой системе всегда действуют какие-либо неконсервативные силы, например силы трения, сопротивления, силы пластической деформации и т.д.

Однако следует помнить, что в любой замкнутой системе убыль механической энергии в точности равна приращению энергии других, немеханических форм движения, т.е. полная энергия различных форм движения в такой системе сохраняется неизменной.

9. В заключение отметим, что диссипативные системы не следует отождествлять с просто неконсервативными системами, ибо механическая энергия первых может только убывать, а энергия последних может и убывать и возрастать за счёт притока энергии извне.