МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

27 ПОНЯТИЕ О МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЛНАХ

1. Если какую-либо частицу или совокупность частиц упругой среды привести в колебание, то эти колебания не останутся локализованными в том месте, где они возбуждены, а благодаря взаимодействию между частицами будут распространяться с некоторой конечной скоростью по всем направлениям.

Процесс распространения механических колебаний в упругой среде называется механической волной.

Существенно подчеркнуть, что волна переносит колебательное движение, энергию этого движения, но не сами частицы среды. Частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия, причём соседние частицы, даже самые ближайшие, колеблются с некоторым сдвигом по фазе. Наличие сдвига фаз объясняется инерцией частиц. Чтобы вывести из положения равновесия любую из частиц, требуется некоторое время. Поэтому частицы, находящиеся на разных расстояниях от источника волны, приходят в колебания неодновременно.

2. Различают поперечные и продольные волны.

Волна называется поперечной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, перпендикулярных к направлению распространения волны. Пример: колебания струны. Поперечные волны могут распространятся в тех средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига. Такими свойствами обладают только твёрдые тела. Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направлений, параллельных направлению распространения волны. Пример: звуковые волны. Продольные волны могут распро- страняться в таких средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия или растяжения. Такими средами являются любые тела – твёрдые, жидкие, газообразные.

На рисунке 53 показано расположение частиц среды в поперечной (а) и продольной (б) волнах (выделены частицы, которые в невозмущенной среде располагались воль одной прямой, на одинаковых расстояниях друг от друга).

3. Основными параметрами волны являются: 1) фазовая скорость ; 2) частота колебаний ; 3) период колебаний ; 4) циклическая частота; 5) длина волны .

Фазовая скорость и скорость распространения волны – это скорость, с которой перемещается в пространстве та или иная фаза колеба-

ния. Фазовая скорость зависит от плотности среды и её упругих свойств.

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых любой из частиц среды, в которой распространяется волна, за единицу времени.

Период колебаний – промежуток времени, в течение которого любая из частиц совершает одно полное колебание.

Циклическая частота – число полных колебаний совершаемых за секунд.

Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковых фазах (точнее, со сдвигом фаз, равным ; но добавление к фазе не оказывает на неё влияния).

Нетрудно показать, что длина волны равна тому расстоянию, на которое волна распространяется за время, равное периоду: (27.1)

4. Во всякой волне можно выделить бесчисленное множество так называемых волновых поверхностей. Волновая поверхность – это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Волновые поверхности принято проводить через равновесные положения частиц, колеблющихся в одинаковых фазах. Отсюда следует, что волновые поверхности неподвижны. В зависимости от формы волновой поверхности различают плоские, сферические, цилиндрические, эллиптические и т.д. волны.

Поверхность, отделяющая колеблющиеся частицы от частиц, ещё не пришедших в колебания, называется фронтом волны. Фронт волны

в отличие от волновых поверхностей перемещается со скоростью равной скорости распространения волны.

Нормаль, восставленная к фронту волны в данной точке, указывает, в каком направлении распространяется волна в этой точке.

5. Связь между основными параметрами волны устанавливается формулами:

; (27.2)

. (27.3)

Величину называют волновым числом. Выразив через и по (27.2), можно записать: (27.4)

28 УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

1. Уравнение волны – это формула, позволяющая найти смещение любой частицы среды, в которой распространяется волна, для любого заданного момента времени: , (28.1)

где S – смещение произвольной частицы от положения равновесия;

- декартовы координаты равновесного положения этой частицы; - время.

Формула (28.1) должна быть периодической функцией, как координат, так и времени. Это следует из того, что все частицы, охваченные волновым движением, совершают периодические колебания, и все час-тицы, отстоящие друг от друга на расстоянии , колеблются одинаковым образом.

2. Будем полагать, что частицы среды колеблются по гармоническому закону, волна плоская и распространяется в направлении оси . В этом случае волновые поверхности будут перпендикулярны к оси и так как все частицы, принадлежащие одной и той же волновой поверхности, колеблются одинаково, смещение любой из частиц будет зависеть только от и :

. (28.2)

Выделим две волновые поверхности так, чтобы одна проходила через начало координат (поверхность «0»), другая – через произвольную точку с координатой (поверхность «») – рис.54. Пусть колебания частиц, принадлежащих волновой поверхности «0», происходят по закону

(28.3)

Колебания частиц, принадлежащих поверхности «», начнутся позже, так как требуется некоторое время для того, чтобы волна прошла расстояние х, отделяющее поверхности «0» и «». Это время, очевидно, равно , где - скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц поверхности «» будут отставать от колебаний частиц поверхности «0»

на :

или

(28.4)

Это уравнение и есть уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси . Величина S определяет смещение от положения равновесия любой из частиц с координатой в момент времени . Предполагается, что амплитуда колебаний всех частиц одинакова. Для плоской волны это справедливо, если энергия волны не поглощается средой.

Уравнения плоской волны можно записать также в виде:

или, учитывая (27.4):

. (28.5)

3. Уравнение волны, распространяющейся в направлении, противоположном оси , имеет вид:

. (28.6)

4. График зависимости смещения от при некотором фиксированном приведен на рисунке 55, а; график зависимости смещения

от при некотором фиксированном - на рисунке 55, б.

5. Уравнение плоской волны есть решение соответствующего дифференциального уравнения, называемого волновым.

Волновое уравнение связывает вторые частные производные от смещения по координатам со вторыми частными производными от смещения по времени. Продифференцируем уравнения волны (28.5) дважды по времени:

, (28.7)

затем дважды по координате:

. (28.8)

Сопоставим уравнения (28.7) и (28.8), найдём, что

.

Учитывая, наконец, , найдём искомое волновое уравнение плоской гармонической волны:

. (28.9)

В случае если волна распространяется в произвольном направлении, в левой части волнового уравнения появляются слагаемые содержащие вторые частные производные по и :

. (28.10)

Решением этого уравнения в зависимости от дополнительных условий может быть уравнение плоской, сферической и т.д. волн.

29 СКОРОСТЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В УПРУГОЙ СРЕДЕ

Распространение волн в упругой среде, это распространение деформаций в ней.

Пусть упругому стержню сечением , за время сообщили импульс равный . (29.1)

К концу этого промежутка времени сжатие охватит участок длиной (рис.56).

Тогда величина будет определять скорость распространения сжатия вдоль стержня, т.е. скорость волны. Скорость распространения самих частиц в стержне равна . Изменение импульса за это время , где масса стержня, охваченная деформацией и выражение (29.1) примет вид

(29.2)

Учитывая, что по закону Гука , (29.3)

где - модуль упругости, приравняем силы, выраженные из (29.2) и (29.3), получим

откуда и скорость распространения продольных волн в упругой среде будет равна

(29.4)

Аналогично можно получить выражение скорости для поперечных волн

(29.5)

где - модуль сдвига.

30 ЭНЕРГИЯ ВОЛНЫ

Пусть волна распространяется вдоль оси х со скоростью . Тогда смещение S колеблющихся точек относительно положения равновесия

. (30.1)

Энергия участка среды (с объемом и массой ), в которой распространяется эта волна, будет складываться из кинетической и потенциальной энергий, т.е. .

При этом где ,

т.е. . (30.2)

В свою очередь потенциальная энергия этого участка равна работе

по его деформации . Умножив и разделив

правую часть этого выражения на , получим

где можно заменить на относительную деформацию . Тогда потенциальная энергия примет вид:

(30.3)

Сравнивая (30.2) и (30.3), замечаем, что обе энергии изменяются в одинаковых фазах, одновременно принимают максимальное и минимальное значения. При колебаниях в среде энергия из одного участка может переходить в другой, но полная энергия элемента объёма не остаётся постоянной

(30.4)

Учитывая, что для продольной волны в упругой среде и , получаем, что полная энергия

(30.5)

пропорциональна квадратам амплитуды и частоты, а также плотности среды, в которой распространяется волна.

Введем понятие плотности энергии - . Для элементарного объёма эта величина равна . (30.6)

Среднее значение плотности энергии для времени одного периода будет равно так как среднее значение за это время равно 1/2.

Учитывая, что энергия не остается в данном элементе среды, а переносится волной от одного элемента к другому, можно ввести понятие потока энергии, численно равного энергии, переносимой через единицу поверхности за единицу времени. Так как энергия , то среднее значение потока энергии

. (30.7)

Плотность потока сквозь поперечное сечение определяется как

, а так как скорость есть величина векторная, то и плотность потока - то же вектор , (30.8)

получивший название - “вектор Умова”.

31 ОТРАЖЕНИЕ ВОЛН. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ

Волна, проходящая через границу раздела двух сред, частично проходит через неё, частично отражается. Этот процесс зависит от соотношения плотностей сред.

Рассмотрим два предельных случая:

а) Вторая среда менее плотная (т.е. упругое тело имеет свободную границу);

б) Вторая среда более плотная (в пределе отвечает неподвижно закреплённому концу упругого тела);

а) Пусть левый конец стержня связан с источником колебаний, правый – свободен (рис.57, а). Когда деформация достигнет правого конца, он, в результате возникшего слева сжатия получит ускорение вправо. При этом, в силу отсутствия среды справа, это движение не вызовет никакого дальнейшего сжатия. Деформация слева будет умень-шаться, а скорость движения – расти. При В силу инерции конца стержня движение в момент исчезновения деформации не прекратится. Оно будет продолжаться с замедлением, вызывая деформацию растяжения, которая будет распространяться справа налево.

То есть, в точке отражения за приходящим сжатием следует уходящее растяжение, как и в свободно распространяющейся волне. Это

значит, что при отражении волны от менее плотной среды, ни какого

изменения фазы её колебаний в точке отражения не происходит.

б) Во втором случае, когда правый конец упругого стержня закреплён неподвижно, дошедшая до него деформация сжатия не может привести этот конец в движение (рис.57, б). Возникшее сжатие начнёт распространяться влево. При гармонических колебаниях источника за деформацией сжатия будет следовать деформация растяжения. А при отражении от закреплённого конца за сжатием в приходящей волне будет следовать опять – таки деформация сжатия в отраженной волне.

То есть процесс происходит так, как будто в точке отражения теряется полволны, другими словами, фаза колебаний меняется на противоположную (на ). Во всех промежуточных случаях картина отличается только тем, что амплитуда отражённой волны будет меньше, ибо часть энергии уходит во вторую среду.

При непрерывной работе источника волн, волны, идущие от него, будут складываться с отраженными. Пусть их амплитуды одинаковы, а начальные фазы равны нулю. При распространении волн вдоль оси , их уравнения

(31.1)

В результате сложения колебания будут происходить по закону

В этом уравнении два первых сомножителя представляют собой амплитуду результирующего колебания , зависящую от положения точек на оси х .

Получили уравнение, называемое уравнением стоячей волны (31.2)

Точки, для которых амплитуда колебаний максимальна

(), называются пучностями волны; точки, для которых амплитуда минимальна (), называются узлами волны.

Определим координаты пучностей. При этом , т.е. должно выполняться условие при

Откуда координаты пучностей . Расстояние между соседними пучностями - и будет равно

, т.е. половине длины волны.

Определим координаты узлов. При этом , т.е. должно выполняться условие при

Откуда координаты узлов , расстояние между соседними узлами равно половине длины волны, а между узлом и пучностью - четверти волны. Так как при переходе через нуль, т.е. узел, меняет значение с на , то смещение точек или их амплитуды по разные стороны от узла имеют одинаковое значения, но разные направления. Так как имеет одинаковое значение в данный момент времени для всех точек волны, то все точки, находящиеся между двумя узлами, колеблются в одинаковых фазах, а по обе стороны узла в противоположных фазах.

Эти признаки являются отличительными признаками стоячей волны от бегущей, у которой все точки имеют одинаковые амплитуды, но колеблются в разных фазах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью . Период колебания точек шнура амплитуда

Определить: 1) длину волны , 2) фазу колебаний, смещение , скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии

от источника волн в момент времени 3) разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях и .

Решение. 1) Длиной волны называется наименьшее расстояние между точками волны, колебания которых отличаются по фазе на

Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и находится как

Подставив числовые значения, получим

2) Фаза колебаний, смещение, скорость и ускорение точки могут быть найдены с помощью уравнения волны

,

y – смещение колеблющейся точки, х – расстояние точки от источника волн, - скорость распространения волн.

Фаза колебаний равна или .

Подставив числовые значения, получим

Смещение точки определим, подставив в уравнение волны числовые

значения амплитуды и фазы

Скорость точки является первой производной от смещения по времени, поэтому

или

Подставив числовые значения, получим

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

После подстановки числовых значений найдём

3) Разность фаз колебаний двух точек волны связана с расстоянием между этими точками (разностью хода волны) соотношением

Подставив числовые значения, получим

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Как объяснить распространение колебаний в упругой среде? Что такое волна?

2. Что называется поперечной волной, продольной волной? Когда они возникают?

3. Что такое волновой фронт, волновая поверхность?

4. Что называется длиной волны? Какова связь между длиной волны, скоростью и периодом?

5. Что такое волновое число, фазовая и групповая скорости?

6. В чём заключается физический смысл вектора Умова?

7. Какая волна является бегущей, гармонической, плоской, сферической?

8. Каковы уравнения этих волн?

9. Когда на струне образуется стоячая волна, колебания прямой и отраженной волн в узлах взаимно гасятся. Означает ли это, что исчезает энергия?

10. Две волны, распространяющиеся навстречу друг другу, отличаются только амплитудами. Образуют ли они стоячую волну?

11. Чем стоячая волна отличается от бегущей?

12. Чему равно расстояние между двумя соседними узлами стоячей волны, двумя соседними пучностями, соседними пучностью и узлом?

Поиск по сайту: