Тема: Создание аналитической геометрии Р.Декартом. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение

Лекция №8.

1.1. Создание аналитической геометрии Рене Декартом.

1.2. Геометрии Лобачевского, Римана и их применение:

а) геометрия Лобачевского;

б) создание неевклидовой геометрии;

в) утверждение геометрии Лобачевского;

г) геометрия Римана.

1.1. СОЗДАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ РЕНЕ ДЕКАРТОМ.

Pене Декарт (1596-1650) (1596-1650) был выдающимся французским ученым: философом, физиком, математиком, физиологом. Образование он получил в иезуитском колледже, славившемся постановкой обучения. Всю жизнь Декарт продолжал совершенствоваться в науках. Целью естественнонаучных занятий Декарта была разработка общего дедуктивно-математического метода изучения всех вопросов естествознания. При этом Декарт совершенно отделил этот род своих занятий от метафизических рассуждений идеалистического характера. В границах физики Декарта единственную субстанцию, единственное основание бытия и познания представляет материя. Рационализм идей Декарта, признающего, прежде всего, разум, строгую дедукцию, был направлен против церковной схоластики. Природой материи, утверждал Декарт, является ее трехмерная объемность; важнейшими свойствами ее - делимость и подвижность. Эти же свойства материи должна отображать математика. Последняя не может быть либо численной, либо геометрической. Она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. Все содержание математики должно рассматриваться с единых позиций, изучаться единым методом; само название науки должно отражать эту ее всеобщность. Декарт предложил назвать ее универсальной математикой.

Возникновение в первой половине XVII в. аналитической геометрии, установившей связь между алгеброй и геометрией, не было случайным. Оно было подготовлено как ходом развития математики до этого, так и общими потребностями производства, экономики, науки и торговли той эпохи.

Известно, что после Аполлония в Древней Греции не было крупных открытий в геометрии. В этой науке наступил длительный застой, причинами которого были не только политические и экономические условия, но и следующий существенный факт: геометрическая проблематика классического периода оказалась почти полностью исчерпанной. Все, что можно было сделать в геометрии с помощью ограниченного математического аппарата того времени, которым пользовались греки, было ими сделано, и сделанное вполне удовлетворяло запросам экономики, техники и науки.

Идеи Евдокса, Архимеда, Аполлония и других корифеев древней математики нельзя было развивать дальше без расширения понятия числа, введения в математику символики, идеи переменных величин и движения, без создания дифференциального и интегрального исчисления. Но такое революционное преобразование математики требовало не только длительного времени, но главным образом мощных внешних объективных факторов и стимулов, зависящих от производительных сил и производственных отношений. Лишь после великих географических открытий (Америки в 1492г., морского пути в Индию в 1498 г.), которые вызвали дальнейшее бурное развитие производства, торговли, мореплавания и поставили задачи составления географических карт, определения места корабля в море, составления более совершенных тригонометрических и астрономических таблиц и разработки более рациональных методов вычисления, лишь после возникновения в ряде европейских стран новой формы производства, стало заметным дальнейшее интенсивное развитие науки и техники. В трудах Галилея и других ученых была разработана новая механика, в которой нуждалось, впрочем, и военное дело, в частности баллистика, исследующая законы движения пуль и снарядов. Новое учение Коперника в астрономии привело к открытию Кеплером законов движения планет. Необходимость в более широких и точных наблюдениях небесных светил привела к построению целого ряда оптических инструментов и к развитию геометрической оптики. Все эти вопросы науки и техники поставили перед математикой ряд новых задач, неразрешимых старыми средствами и методами. Они-то и вызвали в XVII в. создание сначала аналитической геометрии, а затем дифференциального и интегрального исчисления. В основе аналитической геометрии, созданной Ферма и Р. Декартом, лежат две идеи: 1) идея координат, приведшая к арифметизации плоскости, т. е. к тому, что каждой точке плоскости ставится в соответствие два числа, взятые в определенном порядке, и наоборот, 2) идея истолкования любого уравнения с двумя неизвестными как некоторой линии на плоскости и, наоборот, представления любой линии, определяемой как некоторое геометрическое место точек, соответствующим уравнением.

Известно, что метод координат используется для изучения свойств геометрических фигур и решения геометрических задач с помощью алгебры, т. е. для развертывания координатной, ныне называемой аналитической геометрии. Еще Виет назвал свою буквенную алгебру «аналитическим искусством», что дало повод его современникам и последователям называть всякие приложения алгебры к геометрии «аналитическими». Однако термин «аналитическая геометрия» в современном смысле был введен не ее создателями Ферма и Декартом, а гораздо позже французским математиком С. Лакруа, автором учебного руководства «Курс математики» (1796−1799). Первая же работа, содержащая некоторые начала аналитической геометрии, была написана примерно в середине 30-х годов XVII в. Пьером Ферма и названа им «Введение в учение о плоских и телесных местах». К своим новым идеям Ферма пришел, основательно изучая, как и все великие математики того времени, классические труды древнегреческих ученых, в частности Аполлония. Ферма занимался даже восстановлением одного утерянного произведения Аполлония − «Плоские места». Греческие ученые древности называли «плоскими местами» прямую линию и окружность, а «телесными» − конические сечения. Термин «геометрические места» (плоское место, телесное место) появился тогда, когда в соответствии с идеями Аристотеля линию рассматривали не как множество точек, а как место, где расположены (лежат) точки.

В предисловии к «Введению» Ферма указывает, что древнегреческие ученые не обладали общими методами решения геометрических задач. Каждая задача трактовалась отдельно и независимо от других, с нею родственных. Отсутствие единого общего подхода к исследованию и решению задач, как и отсутствие символики, приводило к повторениям одного и того же и делало невозможным рационально классифицировать разрозненные задачи и обозревать их сущность с более широкой точки зрения. Ферма задался целью установить общий подход к исследованию геометрических мест.

«Геометрия» Декарта была впервые опубликована на французском языке в 1637 г. в качестве одного из трех приложений к его философскому труду «Рассуждение о методе». В этом, как и в других своих произведениях, Декарт высказал мысль, что математика является важнейшим средством для понимания законов вселенной и лучшим подтверждением того, что человеческий разум способен найти истину в науке и познавать природу. Еще в 23-летнем возрасте Декарта озарила мысль о перестройке всех наук на математической, аналитической основе, мысль о создании одной единой и всеобъемлющей науки − «универсальной математики». Эта мысль его постоянно воодушевляла, хотя ему так и не удалось осуществить ее полностью. «Геометрия» Декарта и появилась как частичная реализация общей его идеи, как объединение арифметики и алгебры с геометрией.

Фактически «Геометрия» Декарта является алгебраическим трудом, и мало в ней можно найти из того, что мы сегодня называем «аналитической геометрией», однако основная идея последней − алгебраический способ исследования вопросов геометрии с помощью метода координат − в ней четко изложена. Декарт начинает с утверждения, что всякая геометрическая задача сводится в конце концов к нахождению длины или к построению некоторых отрезков, в связи с чем он развивает свое исчисление отрезков. Чтобы ввести в геометрию предлагаемый им алгебраический метод и доказать его превосходство над методами древнегреческих ученых, Декарт обращается к так называемой «задаче Паппа», известной в древности как задача «о геометрическом месте к трем или более прямым». Она состоит в следующем. Даны три, четыре или более прямых (АВ, AD, EF и GH). Известны расстояния , , , ,... от некоторой точки С плоско­сти до этих прямых (если эти расстояния СВ, CD, CF и СН «наклон­ны» к прямым, то даются и углы наклона: CBA, CDA, CFE и CHG). Требуется найти гео­метрическое место таких точек С, чтобы выполнялось условие: при трех прямых,при четырех прямых и т. д. Эта задача восходит к доевклидовой эпохе, ее решением занимались многие математики, включая Евклида, Аполлония и Паппа, но полного решения ей так и не было дано. Один только Аполлоний ее решил для 3-х и 4-х прямых.

Решение Декарта (устаревшее по форме и изложению и поэтому для нас довольно тяжелое) сводится к следующему. Он относит все линии к двум главным прямым: АВ, называемую х, и ВС. Последний отрезок он обозначает через у.

Прямая АВ выбирается как ось X, точка А − как начало координат. Ось Y по существу отсутствует, но подразумевается как направленная параллельно ВС. В целом система координат такая же, как и у Ферма. Для искомого геометрического места точки С Декарт после ряда выкладок получает уравнение:

(1)

Это уравнение второго порядка, представляющее коническое сече­ние, в котором каждая буква означает некоторый отрезок (расстояние). Уравнение (1) представляет, по Декарту, длину отрезка ВС, если АВ или х берется неопределенным (т. е. как переменная). Далее Декарт занимается вопросом о том, какое именно коническое сечение изображает уравнение (1) при тех или иных значениях постоянных (коэффициент), входящих в него. Если радикал в правой части (1) равен нулю, пишет Декарт, то точка С описывает прямую . И в случае, если этот корень извлекается, искомое место будет некоторой прямой.

Значительная часть «Геометрии» посвящена методам алгебраического и графического решения уравнений.

Итак, не только у Ферма, но и у Декарта еще нет того, что мы называем системой декартовых координат на плоскости, есть только ось абсцисс с начальной точкой на ней. Хотя «Геометрия» Декарта еще не представляла собой настоящую аналитическую геометрию, все же она как наука развивалась именно под влиянием этой книги Декарта, а не под влиянием «Введения» Ферма, появившегося в печати лишь в 1679 г.

Из-за нелегкого стиля и нечеткого способа изложения «Геометрия» Декарта оказалась очень трудной для чтения. Уже в 1649 г. француз Ф. Дебон в своих «Кратких замечаниях» комментирует и несколько дополняет Декарта. Так же поступил голландский математик Франц ван Скоотен, издававший «Геометрию» Декарта на латинском языке в 1649 и 1659 гг. У ван Скоотена мы уже находим самостоятельное уравнение прямой у = а − х, преобразования координат и др. Дж. Валлис впервые ввел и отрицательные абсциссы, которые он применил наряду с отрицательными ординатами. Метод координат с трудом пробивал себе дорогу. Некоторые из продолжателей дела Декарта хотя и рисовали вторую ось координат, но не применяли ее. Существенным толчком для дальнейшего развития координатной геометрии на плоскости были небольшой труд Ньютона «Перечисление кривых третьего порядка» (1706) и книга его соотечественника Дж. Стирлинга «Ньютоновы кривые третьего порядка» (1717), в которых рисовались обе оси (хотя ось У еще не считалась равноправной с осью X) и квадранты. Лишь Г. Крамер в своем «Введении в анализ алгебраических кривых» (1750) впервые по современному ввел ось К, считая ее равноправной с осью Х, и четко пользовался понятием двух координат точки на плоскости. Этого новшества, однако, еще нет во втором томе «Введения в анализ» (1748) Эйлера. С другой стороны» эта работа Эйлера, посвященная геометрии, явилась первой в сов­ременном смысле аналитической геометрии конических сечений. Близкие к современным новые обозначения и расположение материала плоской аналитической геометрии мы находим впервые у С. Лакруа в «Элементарном курсе прямолинейной и сферической тригонометрии и приложений алгебры к геометрии», который переиздавался много раз на протяжении целого столетия, начиная с 1798 г.

Аналитическая геометрия в трудах Эйлера, у его современников и последователей. Большая часть математических работ Л. Эйлера относится, как известно, к области математического анализа. Тем не менее, он посвятил более 75 трудов геометрии и разным ее применениям. Он получил важнейшие результаты в теории алгебраических кривых и в дифференциальной геометрии и положил начало топологии, учению о симметрии и о других геометрических преобразованиях.

Опубликованный в 1748 г. второй том «Введения в анализ» Эйлера по праву считается первым курсом аналитической геометрии в современном смысле. Эта книга состоит из двух частей, первая из которых посвящена плоской аналитической геометрии, а вторая, названная автором «Приложения о поверхностях», − пространственной. Именно в «Приложении», состоящем из шести глав, дано первое систематическое изложение аналитической геометрии трех измерений. В главе I вводится система декартовых координат в пространстве, при этом рассматриваются 8 октантов, образованных плоскостями координат, излагаются условия симметрии относительно координатных плоскостей, находится расстояние между началом и любой точкой пространства. В главе II («О сечениях поверхностей какими-либо плоскостями») выводятся уравнения общих цилиндрических и конических поверхностей. В главе III излагается теория плоских сечений кругового цилиндра и конуса. Глава IV содержит вывод формул преобразования координат в пространстве с использованием знаменитых «углов Эйлера». Глава V содержит исследование общего уравнения второго порядка с тремя переменными. В ней дана классификация квадрик, т е. поверхностей второго порядка, и выводятся канонические уравнения для эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов и параболоидов. Гиперболический параболоид встречается здесь впервые. В последней главе содержатся примеры пространственных кривых.

Как первый том «Введения в анализ» Эйлера, так и второй отличаются большой доступностью изложения. Это послужило одной из причин широкого распространения книги, которая оказала значительное влияние на другие курсы аналитической геометрии XVIII в.

В последней четверти XIX столетия начался следующий важнейший этап в развитии аналитической геометрии как науки: введение в нее учения о геометрических преобразованиях и теории инвариантов. Аналитическая геометрия имела большое значение для развития дифференциальной геометрии, проективной геометрии, аналитической механики и других разделов математики и физики. Она и в настоящее время необходима для изучения математики и естествознания. Исходя из двумерной и трехмерной, развилась многомерная и бесконечномерная аналитическая геометрия. В известной мере продолжение идей классической аналитической геометрии отражено в современном функциональном анализе, обобщающем понятия математического анализа, и в общей алгебраической геометрии, связанной с теорией функций и с топологией.

Еще до открытия неевклидовой геометрии гениальный русский математик Н. И. Лобачевский написал в 1823 г. учебное руководство, озаглавленное «Геометрия». В нем впервые со всей четкостью отражена так называемая теперь фузионистская (от латинского fusio — литье, слияние) точка зрения, согласно которой планиметрию не следует по евклидовой манере отрывать от стереометрии; наоборот, обе эти части геометрии нужно по возможности объединить, т. е. аналогичные начала планиметрии и стереометрии следует преподавать параллельно. Так, рядом с кругом Лобачевский рассматривает шар и сферу; взаимное расположение прямых на плоскости он рассматривает совместно с взаимным расположением плоскостей в пространстве, почти одновременно трактует многоугольники и многогранники, измерение прямолинейных и телесных углов. Лишь в конце прошлого столетия итальянский математик Г. Веронезе также стал проводить в своих учебных руководствах по элементарной геометрии идею фузионизма. Метод фузионизма не потерял своего значения и в наши дни.

1.2. ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО, РИМАНА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ.

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) − одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Попытки доказательства пятого постулата

Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида − аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он входил в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность егоформулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида.

Среди многих пытавшихся доказать пятый постулат были, в частности, следующие крупные учёные.

Древнегреческие математики Птолемей (II в.) и Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными).

Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X — начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию).

Иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI — начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения).

Первую в Европе известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Герсонид (он же Леви бен Гершом, XIV век). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

Итальянские математики.

Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных).

Английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура).

Французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства).

При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили (явно или неявно) некоторое новое утверждение, казавшееся им более очевидным.

Были предприняты попытки использовать доказательство от противного: итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным). Немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате: немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной).

Поиск по сайту: