Аддитивность интеграла Римана
Теорема 1. Пусть . Тогда тогда и только тогда, когда
одновременно и . При этом
.
Пример 1. Рассмотрим функцию , равную нулю всюду, за исключением точки .
Такая функция монотонна: в первом случае она неубывающая, во втором невозрастающая. Следовательно, . Найдем . Для этого разобьем отрезок на равных частей и в каждом из отрезков разбиения выберем точку . Тогда , и тем самым
Точно также функция , равная нулю всюду, за исключением точки , интегрируема и . Используя свойство аддитивности интеграла Римана, заключаем, что функция , равная нулю всюду, за исключением конечного числа точек, интегрируема, и .
Теорема 2. Пусть и отличаются лишь в конечном числе точек. Тогда и в том случае, когда они интегрируемы, интегралы их равны:
.
Следствие 1. Если изменить значения функции в конечном числе точек, то полученная функция будет интегрируемой, а интеграл ее совпадет с интегралом функции .
Пример 2.
Пусть .
Найти .
Решение. = На отрезке функция постоянна и равна 2. Поэтому Для вычисления переопределим функцию в точке положив . Полученная функция тождественно равна нулю. Поэтому Следовательно, 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | Поиск по сайту:
|