|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Замена переменных в неопределенном интегралеОдин из приемов, часто используемых при вычислении интегралов− замена переменной. Он основывается на следующей теореме. Теорема 1. Пусть − первообразная для . Если − дифференцируемая функция, то . В частности, (1) Пример 1. Найти . Решение. Положим . Тогда . Так как , то по Теореме 1 . Обычно эти выкладки записываются по следующей схеме: положим ; тогда и тем самым . В процессе решения мы внесли под знак дифференциала, поэтому и метод нахождения неопределенного интеграла, основанный на Теореме 1, называется “ внесением под знак дифференциала”. Пример 2. Найти . Решение. Полагая , и применяя формулу (1), получаем .
Пример 3. Найти . Решение. .
Пример 4. Найти . Решение. .
Пример 5. , . Решение. Применим формулу (1) и табличные интегралы 1 и 2, учитывая, что коэффициент перед . Пример 6. Найти . Решение.
. Иногда правило замены переменной удобно использовать в другой форме. Теорема 2. Пусть функция имеет примитивную на , –строго монотонная функция, дифференцируемая на , –примитивная функции . Тогда есть примитивная функции , т. е. . Доказательство. Обозначим через первообразную функции .Тогда по Теореме 1 , откуда для . Рассмотрим . Тогда для некоторого , а это . Поэтому , и тем самым есть первообразная функции . При применении этой теоремы выкладки записываются по следующей схеме. Требуется вычислить . Положим . Тогда . В результате формальной подстановки находим . Подставляя , получаем окончательный результат. Пример 1. Вычислить . Решение. Используем подстановку (считая ), которая позволяет избавиться под знаком интеграла от корня. Тогда и . Чтобы получить выражение найденного интеграла через , следует подставить . Таким образом .
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Пусть . Имеем . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |