АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Замена переменных в неопределенном интеграле

Читайте также:
  1. IV. ЕКЗАМЕНАЦІЙНІ БІЛЕТИ
  2. Автоматическая замена шрифта
  3. Вступительного экзамена по педагогике и психологии
  4. Вычисление функций двух переменных
  5. для экзамена по дисциплине «Теория экономического анализа» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
  6. ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ № 5
  7. Зависимость методов измерений связей от уровня измерения переменных
  8. Замена клапанных направляющих
  9. Замена лиц в обязательстве
  10. Замена на стороне кредитора.
  11. Замена неотбытой части более мягким видом наказания
  12. Замена переменной в дифференциале

Один из приемов, часто используемых при вычислении интегралов− замена переменной. Он основывается на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть − первообразная для . Если − дифференцируемая функция, то

.

В частности,

(1)

Пример 1. Найти .

Решение. Положим . Тогда . Так как , то по Теореме 1 .

Обычно эти выкладки записываются по следующей схеме: положим ; тогда и тем самым

.

В процессе решения мы внесли под знак дифференциала, поэтому и метод нахождения неопределенного интеграла, основанный на Теореме 1, называется “ внесением под знак дифференциала”.

Пример 2. Найти .

Решение. Полагая , и применяя формулу (1), получаем

.

 

Пример 3. Найти .

Решение. .

 

Пример 4. Найти .

Решение. .

 

Пример 5. ,

.

Решение. Применим формулу (1) и табличные интегралы 1 и 2, учитывая, что коэффициент перед .

Пример 6. Найти .

Решение.

 

.

Иногда правило замены переменной удобно использовать в другой форме.

Теорема 2. Пусть функция имеет примитивную на , –строго монотонная функция, дифференцируемая на , –примитивная функции . Тогда есть примитивная функции , т. е. .

Доказательство. Обозначим через первообразную функции .Тогда по Теореме 1 , откуда для . Рассмотрим . Тогда для некоторого , а это . Поэтому , и тем самым есть первообразная функции .

При применении этой теоремы выкладки записываются по следующей схеме. Требуется вычислить . Положим . Тогда . В результате формальной подстановки находим . Подставляя , получаем окончательный результат.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Используем подстановку (считая ), которая позволяет избавиться под знаком интеграла от корня. Тогда и

.

Чтобы получить выражение найденного интеграла через , следует подставить . Таким образом

.

 

Пример 2. Вычислить интеграл .

 

Решение. Пусть . Имеем

.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)