|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Примитивная (первообразная)Если функция дифференцируема для каждого , то операция дифференцирования ставит в соответствие функции новую функцию – производную функцию . Одна из возможных физических трактовок этой операции – определение скорости движения по функции, задающей пройденное расстояние за время движения. С точки зрения приложений естественной является обратная операция, а именно определение пройденного пути по известной скорости движения, как функции времени. Более формально, последняя операция есть операция определения функции по ее производной. Далее буквой обозначаем одно из следующих подмножеств : , где . Множества такого вида мы будем называть промежутками. Для функции положим . Аналогичным образом определяется производная в концах промежутка , принадлежащих , во всех остальных случаях. Определение 1. Пусть . Функция называется примитивной (первообразной) функции на , если существует и . Замечание1. Из Определения 1 следует, что примитивная некоторой функции на непрерывна на . Пример 1. Для функции , примитивной на является функция Пример 2. Для функции примитивной на является функция Пример 3. Для функции примитивной на является функция В связи с понятием первообразной возникают следующие вопросы: 1) Всякая ли функция имеет первообразную? 2) Для каких функций можно гарантировать существование первообразной? 3) Сколько первообразных может иметь одна и та же функция? Для ответа на первый вопрос на интервале рассмотрим функцию
Функция примитивной не имеет. Действительно, предположим, что такова, что для любого . По формуле конечных приращений Лагранжа . Отсюда . Однако . Полученное противоречие доказывает, что предположение о существование примитивной функции было неверно. Ответ на второй вопрос дает Теорема 1 (О существовании первообразной). Если функция непрерывна, то у нее существует первообразная. Ответ на третий вопрос содержится в следующей теореме. Теорема 2. Если – какая-нибудь первообразная функции , то формула , где – любая постоянная, дает общий вид первообразных для . Определение 2. Совокупность всех примитивных функций функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается через . Процедура определения примитивной, или неопределенного интеграла для функции , называется интегрированием . Таблица интегралов. Используя таблицу производных, мы можем составить таблицу некоторых интегралов. Вот эта таблица: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. (в частности ), 10. , 11. ( -натуральное число), 12. ( -натуральное число). 13. , 14. , 15. , 16. . Все эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием, т. е. производная от правой части формулы всегда равна подынтегральной функции в левой части. Отметим некоторые частные случаи формулы 1: (, означает интеграл от подынтегральной функции, тождественно равной единице), , . Упомянем ещё и такую очевидную формулу: , т. е. первообразные от функции, тождественно равной 0, суть постоянные. Теперь дадим одно существенное дополнение к формуле 2. Функция непрерывна как и в интервале , так и в интервале . Однако формула 2 в том виде, как это записано выше, имеет смысл только при . Оказывается, что если ей придать вид 2'. , то она будет справедливой в обоих промежутках и . Действительно, при формула 2' совпадает с табличной формулой 2. Если же , то , и непосредственной проверкой, с помощью правила дифференцирования сложной функции, находим, что . Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |