Формула замены переменной в определенном интеграле
Теорема 1. Пусть
1. ;
2. ;
3. , т.е. .
Тогда
.
Пример 1. Найти (a>0).
Решение. Пусть , . Так как для , то .
По Теореме 1
.
Пример 2. Можно ли интеграл
вычислить с помощью подстановки ?
Решение. Нет нельзя. Как бы мы не подбирали отрезок , никогда не примет значение 2.
Пример 3. Докажите, что для непрерывной функции :
1) , если функция четная.
2) , если функция нечетная.
Решение. 1) По свойству аддитивности интеграла
Пологая , x = -t имеем
Поэтому .
2) Рассуждая так же, как в 1), имеем
.
Пример 4. Докажите, что если непрерывная периодическая функция с периодом Т, то
,
где а - произвольное действительное число
Решение. Так как , то
.
Пусть . Тогда . Поэтому
. Следовательно . 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | Поиск по сайту:
|