Тема: Математика переменных величин. Дифференциальное и интегральное исчисления

Лекция № 5

1.1 Начало периода математики переменных величин.

1.2 Дифференциальное и интегральное исчисления:

а) интеграционные методы;

б) дифференциальные методы;

в) теория флюксий;

г) исчисление дифференциалов.

1.3 Основы анализа

1.1. НАЧАЛО ПЕРИОДА МАТЕМАТИКИ ПЕРЕМЕННЫХ ВЕЛИЧИН

В истории науки математика XVII в. занимает особое, весьма значительное, место.

XVII в. открывает новый период - период математики переменных величин. К концу предыдущего, XVI столетия алгебра, тригонометрия, геометрия, а также приемы вычислений накопили достаточно много фактов и достигли такого состояния, что стали существенной частью технического и общенаучного прогресса. В течение XVII в. математические методы продолжали весьма энергично внедряться в естествознание, прежде всего в механику. Так, в 1632 и 1638 гг. Галилей дал математическое выражение законов падения тел, несколько ранее (1609-1619) Кеплер открыл и математически сформулировал свои знаменитые законы движения планет. К 1686 г. Ньютон смог сформулировать и убедительно продемонстрировать закон всемирного тяготения: законы движения планет объясняются притяжением их к Солнцу с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния и прямо пропорциональной их массам. Законы притяжения оказались универсальными для любых тел, массу которых можно представить сосредоточенной в центре.

Большинство ученых работали во многих областях науки, они пытливо изучали природу, отыскивали ее законы и не особенно заботились о разграничении наук. Успехи в выявлении и математическом оформлении столь многих естественнонаучных закономерностей привели к созданию системы наук о природе - математического естествознания. Последнее представлялось в виде общей науки, которая объясняла отдельные явления действием общих, математически сформулированных законов природы. Философская идея универсальности математического метода, отражающая быстрое развитие техники и математики, довлела над умами крупнейших ученых и философов XVII в. (Декарт, Спиноза, Лейбниц, Ньютон). Каждый новый успех математического естествознания вызывал резкое повышение проса на приложения математической теории. Математика во все времена развивалась под определяющим влиянием практики и в конечном счете технического, материального прогресса.

В XVII в. математическое творчество ученых протекало в атмосфере высокого давления практических обстоятельств. В течение этого столетия изменились формы существования математики. На смену энтузиастам-одиночкам пришли научные организации. С 1662 г. начало свою деятельность Лондонское королевское общество, играющее и ныне роль национальной Академии наук. В 1666 г. организована Парижская академия. Тем было положено начало эпохе организации научных учреждений и обществ, ставших плодотворной формой коллективного труда ученых при государственном покровительстве наукам. Переписка ученых и появлявшиеся изредка книги не удовлетворяли требованиям научного общения. В XVII в. было положено начало периодике.

Изменение практического положения, идейных основ и организационной структуры и роли математики происходило наряду с глубокими качественными изменениями в ее содержании. Изучение чисел, постоянных величин, фигур дополняется изучением движений и преобразований, функциональных зависимостей. Меняется внутреннее содержание математики, все более приобретающей облик математики переменных величин. Об этом перевороте в математике Ф. Энгельс говорил: "Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика, и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает, и которое было, в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем".

В XVII в. берут начало все, или почти все, математические дисциплины, входящие

ныне в классический фонд современного высшего математического образования. В трудах Декарта и Ферма начала формироваться аналитическая геометрия как метод выражения числовыми соотношениями размеров, форм и свойств геометрических объектов, существенно использующих метод координат. В разнообразных формах стал возникать математический анализ. Вначале это было дифференциальное и интегральное исчисление, принявшее в 1665-1666 гг. в сочинениях И. Ньютона (опубликованных, однако, лишь в XVIII в.) вид теории, флюксий, а в сочинениях Лейбница (опубликованных в 1682-1686 гг. и позднее) вид исчисления дифференциалов.

Тотчас, после возникновения математического анализа механические и физические

задачи стали записываться в виде дифференциальных уравнений, решение которых стало с тех пор едва ли не самой главной задачей всей математики. Почти в то же самое время в математическом анализе появились первые задачи, вводящие в его высшие области. В частности, речь идет о вариационных задачах, попытки решения которых привели впоследствии к появлению вариационного исчисления - самой ранней части функционального анализа.

В неразрывной связи с анализом формировались в отдельную область математики его геометрические приложения. Еще в начале столетия, в 1604 г., Кеплер вывел формулу радиуса кривизны. Позднее, в 1673 г., Гюйгенс дал математическое выражение эволют и эвольвент. Многие дифференциально-геометрические факты, открытые и доказанные в XVII в., послужили надежной основой для выделения и обоснования новой области математики - дифференциальной геометрии.

В XVII в. было положено начало учению о перспективе и проективной геометрии в сочинениях Ж. Дезарга (1593-1662) и Б. Паскаля (1623-1662). Первую научную форму приобрела теория вероятностей, особенно благодаря открытию Я. Бернулли (1654-1705) простейшей формы закона больших чисел.

Наконец, элементарная математика приобрела завершенную форму - благодаря замене риторической алгебры символической, а также изобретению логарифмов. Столетие в жизни науки - большой срок, в течение которого происходит множество событий.

1.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ

В математике XVII в. самым большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось одно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших сотрудников и учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших, революционных преобразований, быстро изменивших все лицо математики и поднявших ее роль в системе естественнонаучных знаний человечества.

Для создания исчисления бесконечно малых внутри математики XVII в. сложились достаточные предпосылки. Это были: наличие сложившейся алгебры и вычислительной техники; введение в математику переменной величины и координатного метода; накопление методов решения задач на вычисление квадратур, определения центров тяжести, нахождение касательных, экстремалей и т. д.

Создание элементов мате­матического анализа представляло собой многосторонний творческий труд большого числа ученых.

Разделим методы, содержащие анализ бесконечно малых, на две группы. Сначала рассмотрим те из них, в которых проявляются элементы позднейшего интегрального исчисления; их мы назовем интеграционными. Затем рассмотрим дифференциальные методы, т. е. методы решения задач на определение касательных и т. п., тех, что решались позднее средствами дифференциального исчисления. Открытие связей интеграционных и дифференциальных методов — решающий этап, после которого сразу началось формирование математического анализа.

Интеграционные методы. Вначале эти методы вырабатывались, накапливались и выделялись в ходе решения задач на вычисление объемов, площадей, центров тяжестей и т.п. Интеграционные методы слагались в то время как методы определенного интегрирования. Процесс формирования и внедрения в математику этих методов был очень бурным и скоротечным; уже через 50−60 лет со времени появления первой работы он привел к образованию интегрального исчисления.

Самым ранним по времени опубликования методом этого типа был метод непосредственного оперирования с актуальными бесконечно малыми величинами. Появился он в 1615 г. в сочинениях Кеплера.

Иоганн Кеплер (1571−1630), уроженец Вюртемберга − одного из многочисленных в ту пору немецких государств, −выдающийся астроном и математик. Анализируя огромный материал астрономических наблюдений, он в 1609−1619 гг.открыл законы движения планет, носящие, и поныне егоимя: 1) Планеты движутся по эллипсам. Солнце находится в одном из егофокусов; 2) Радиус-векторы планет «заметают» за равные промежутки времени равные секториальные площади; 3) Квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний до Солнца.

Метод вычисления объемов тел вращения и их частей был у Кеплера единым. Во-первых, изучаемое тело делилось на бесконечное число частиц, «ломтей», занимающих равноправные положения в теле. Эти части тела перегруппировывались, образуя другое тело, объем которого возможно вычислить. Если непосредственное суммирование оказывалось невозможным провести, то они предварительно заменялись другими частицами, эквивалентными данным.

Кавальери Бонавентура (1598−1647), ученик Г. Галилея, происходил из знатного рода. Монашеская карьера сочеталась в его жизни с научной и преподавательской деятельностью по математике. С 1629 г., по рекомендации Галилея, он занял кафедру математики в Болонье, будучи одновременно настоятелем католического монастыря ордена иеронимитов. Прекрасный знаток античных авторов, он в то же время глубоко изучал высказанные Галилеем и Кеплером идеи создания исчисления неделимых. Кавальери написал ряд сочинений по астрономии, технике вычислений, коническим сечениям, тригонометрии. В 1632 г. он опубликовал 11-значные таблицы логарифмов тригонометрических функций. Но делом его жизни, имевшим наибольшее значение для развития математики, был метод неделимых, задуманный как универсальный метод геометрии.

Идея общего метода неделимых впервые высказана Б. Кавальери в 1621 г. В рукописи, представленной им при занятии профессорской должности в 1629 г., уже имеет место систематическое применение неделимых.

Метод неделимых изобретен для определения размеров плоских фигур и тел. Как фигуры, так и тела представляются составленными из элементов, имеющих размерность на единицу меньше.

Совокупность всех неделимых, вводимая Кавальери, по существу вводит понятие определенного интеграла.

Сущность геометрии неделимых Кавальери можно сформулировать так: плоские фигуры и тела относятся друг к другу, как все их неделимые, взятые вместе; если неделимые находятся в одном и том же отношении друг к другу, то отношение площадей соответствующих фигур (или объемов тел) равно этому отношению.

Дифференциальные методы. В математике XVII в. наряду с интеграционными методами складывались и методы дифференциальные. К дифференциальным методам относятся те, в которых содержатся элементы будущего дифференциального исчисления. Вырабатывались эти элементы при решении задач, которые в настоящее время решаются с помощью дифференцирования. Такие задачи были в то время трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций и отыскание условий существования у алгебраических уравнений кратных корней.

Накопление элементов дифференциального исчисления наиболее явную форму приняло у Ферма. В 1638 г. он сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений функции .

К середине XVII в. накопился достаточно большой запас средств решения задач, ныне решаемых с помощью дифференцирования. Однако не было еще выделено особой операции дифференцирования, понятий, равнозначных понятиям производной и дифференциала. Не была ясна связь дифференциальных и интеграционных методов. Математический анализ формировался в рамках и в терминах алгебры, геометрии, механики — сложившихся уже к тому времени наук. Так всякое новое математические исчисление всегда проходит период формирования в пределах уже существующей системы математических наук, используя их средства.

Теория флюксий. Наиболее ранней формой анализа является теория флюксий, открытие которой принадлежит И. Ньютону.

Исаак Ньютон (1642-1727) родился в семье фермера в местечке Вулсторп близ Кембриджа (Англия). В 1655 г. он окончил Кембриджский университет со степенью бакалавра. Учителем его был И. Барроу. В 1668 г. И. Ньютон получил степень магистра, а через год, в 1669 г., Барроу, будучи в расцвете сил, уступил Ньютону свою кафедру в знак уважения к талантам и научным достижениям своего ученика. Профессором в Кембридже, Ньютон был до 1701 г. В 1672 г. он был избран членом, а с 1703 г. - президентом Лондонского королевского общества. Наиболее значительные работы по математике Ньютон написал во время пребывания в Кембридже. Основными направлениями научной деятельности Ньютона были физика, механика, астрономия и математика. Ему принадлежат в этих областях науки первоклассные достижения, в том числе: вывод и формулировка основных законов классической механики, открытие закона всемирного тяготения, законов спектрального разложения света, разработка дифференциального и интегрального исчисления в форме метода флюксий.

Математика в системе научных воззрений Ньютона была частью общей науки о природе - натуральной философии - и орудием физических исследований. В качестве математического аппарата механики, который учитывал бы движение и охватывал связанные с ним понятия скорости и ускорения, Ньютон разработал метод, названный им методом, или теорией, флюксий. В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т. е. текущими. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о математическом абстрагированном аналоге времени - некоей воображаемой абстрактной равномерно текущей независимой величины, к которой отнесены все флюенты. Далее вводятся скорости течения, флюент, т. е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия, представляет собой переменную, то можно находить флюксию от флюксии, и т. д. Для вычисления мгновенных скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные Ньютоном моментами. По существу момент флюенты - это ее дифференциал. Символы Ньютона не так удобны, как символы дифференциалов, ведущие свое происхождение от Лейбница и распространенные в наше время. Однако они еще сохранились, например, в механике.

В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических, так и в математических терминах:

1) определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами;

2) по заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями.

Первая задача, так называемая прямая задача теории флюксий, представляет задачу дифференцирования неявной, в общей постановке, функции и получения дифференциального уравнения, выражающего элементарные закономерности природы. Вторая - обратная задача теории флюксий - есть задача интегрирования дифференциальных уравнений, поставленная в самом общем виде. В частном виде в этой задаче речь идет о нахождении первообразных функций. Таким образом, интегрирование в теории флюксий вводится вначале в виде неопределенного интегрирования.

В более сложных случаях Ньютон прибегал к представлению функций степенными рядами и к оперированию с этими рядами.

Обратная задача теории флюксий: нахождение соотношения между флюентами по

известному соотношению между флюксиями - по своей постановке чрезвычайно обща. Она, как мы указывали, эквивалентна общей задаче об интегрировании любых дифференциальных, уравнений. Подходы Ньютона к решению столь общей проблемы и

приемы решения складывались постепенно.

Исчисление дифференциалов. Как было сказано ранее, анализ бесконечно малых возник почти одновременно в двух разных, независимых друг от друга формах. Первой по времени изобретения была ньютонова теория флюксий. Однако первые публикации по

математическому аналиу были посвящены другому виду исчисления - исчислению дифференциалов. Автор нового исчисления Г, В. Лейбниц (1646-1716) родился в Лейпциге в семье.профессора местного университета по кафедре философии и морали. Образование получил в университетах Лейпцига и Йены. Всю жизнь состоял на службе у германских государей. Выполняя дипломатические поручения, Лейбниц посетил Париж и Лондон, где вступил в научное общение с виднейшими учеными. За научные заслуги он был избран членом Лондонского королевского общества (1673) и Парижской академии наук (1700). Лейбниц основал Берлинскую академию, а также оказал положительное влияние на развитие науки в России: он был знаком с Петром I, переписывался и беседовал с ним, обсуждал проекты организации Академии наук в Петербурге, развертывания научных исследований в России.

Деятельность Лейбница весьма многообразна: он был видным дипломатом, политиком и ученым. Так же разнообразны его научные интересы: естественные науки, физика, философия, право, литература и языкознание, математика были объектами его исследований, нередко весьма замечательных и предвосхитивших многие последующие открытия.

Только в 1684 г. в лейпцигском журнале Лейбниц опубликовал первый мемуар об

анализе бесконечно малых. Мемуар этот невелик, менее 10 страниц. В нем нет Доказательств. Но в нем впервые на страницах научного журнала появляется дифференциальное исчисление как объект математического исследования в виде, во многом напоминающем современную его структуру.

Дифференциалы понимаются вначале как величины, пропорциональные мгновенным приращениям величин. Правда, позднее, дифференциалы вновь. определяются как бесконечно малые разности. Мемуар 1684 г. был трактатом о дифференциальном исчислении. Через два года, в 1686 г., вышло в свет другое сочинение Лейбница "О глубокой геометрии", в котором сосредоточены правила интегрирования многих элементарных функций. В том же году Лейбниц разрабатывает основы теории соприкосновения кривых, вводит соприкасающийся круг и применяет его к измерению кривизны.

1.3. ОСНОВЫ АНАЛИЗА. Еще при жизни И. Ньютона и Г. В. Лейбница стало очевидным, что недавно открытые исчисления флюксий и дифференциалов явились лишь преддверием новой области математики, ее элементарной частью. Операции дифференцирования и интегрирования оказывались применимыми ко все более широкому классу функций.

Основным средством, позволяющим приводить функции к виду, удобному для оперирования с ними, было разложение их в степенные ряды. Опыт подсказывал математикам, что в ряды разложимы все известные им функции. Исключения из этого общего правила появились в основном позднее; в то время они были слишком немногочисленны, чтобы изменить сложившиеся представления и существенно повлиять

на структуру теории функций. Поэтому после классификации функций и введения основных понятий в теории функций XVIII в. непосредственно следуют разделы оперативного характера, куда входят методы разложения функций в ряды и свойства последних.

Даламбер в 1752 г., а Эйлер в 1755 г. показали, что эти условия достаточны для аналитичности функции. Позднее (в 1777 г.) Эйлер доказал и необходимость этих условий, ныне в некоторых книгах ошибочно носящих название условий Коши - Римана. В течение 30-40-х годов XVIII в. главным: образом благодаря Эйлеру была разработана и систематизирована теория элементарных аналитических функций. Она тотчас же повлекла поток открытий, сопровождавшихся большими и страстными спорами. Особенно много споров вызывала трактовка функций комплексного аргумента. Большое значение имел в этом плане спор о природе логарифмов комплексных чисел, начатый еще Лейбницем и Бернулли. Первый утверждал, что эти числа - мнимые, тогда как И. Бернулли отстаивал утверждение, что эти числа действительные.

Даже в 1797 г. Лагранж пытался построить теорию аналитических функций, опирающуюся на утверждение, что всякая функция всюду, за исключением, быть может, отдельных, значений аргумента, представима рядом Тейлора. Накопившийся запас представлений о способах выражения. функциональных зависимостей начал приходить, однако, в противоречие с этой концепцией. Эйлеру пришлось рассматривать и более общие классы функций. Так, ему принадлежит идея рассмотрения функций, геометрически выраженных линиями, начерченными свободным движением руки. При этом неизбежно встала задача о соотношении объема данного класса и класса непрерывных (в смысле Эйлера) функций. Эйлер считал, что последний класс, по-видимому, беднее, потому что существование аналитической формулы определило бы 'однозначное аналитическое продолжение.

Работы по вопросам обоснования анализа, появлявшиеся в течение XVIII в., настолько многочисленны, что составляют большую самостоятельную отрасль математической литературы вообще. Одной из самых характерных черт анализа бесконечно малых в XVIII в. была невыясненность его исходных понятий, невозможность объяснить рационально правомерность введенных операций. Взгляды создателей анализа на этот предмет не отличались ни постоянством, ни определенностью. Как Ньютон, так и Лейбниц предприняли множество попыток объяснения своих исчислений, не достигнув успеха.

Виднейшие математики, занимавшиеся в середине XVIII в. проблемой обоснования

анализа бесконечно малых, видели свою задачу пока еще только в рационализации его основ, в устранении пробелов, неясностей, мистического оттенка. Среди многих попыток этого периода особенно выделяются теории Эйлера и Даламбера. Для Эйлера и его последователей (Торелли и др.) дифференциальное исчисление Лейбница не должно было трактоваться как исчисление дифференциалов, сопровождающееся отбрасыванием бесконечно малых. По Эйлеру, дифференциальное исчисление есть метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых функциями, когда их аргументам даются исчезающие приращения. Основным понятием здесь является не дифференциал.

Теория Даламбера также возникла на почве критического пересмотра наследия Ньютона и Лейбница для выявления их рациональной сущности. Этот пересмотр заставил Даламбера отдать предпочтение методу первых и последних отношений Ньютона. Этот метод Даламбер развил, придав ему форму метода пределов. Он считал, что одна, величина является пределом: другой величины, если вторая может стать к. первой ближе, чем на любую.данную величину, как бы ни была мала эта последняя, причем приближающаяся величина никогда не сможет превзойти величину, к которой она приближается. Отсюда видно, что переменные, по Даламберу, - монотонны, предел - односторонний.

Анализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции. Пример Вейерштрасса: всюду непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция

Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа (Коши, затем Вейерштрасс). Благодаря Кошимистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики (хотя в физике оно используется до сих пор). Были поставлены вне науки и сомнительные действия с расходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна.

Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексного переменного, над которой работали Лаплас, Коши, Абель, Лиувилль, Якоби, Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальных функций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теорию абелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитического инструментария и созданию в XX веке более общих теорий.

Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения математической физики, доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений (Пуанкаре).

К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляются векторный анализ, тензорный анализ, исследуется бесконечномерное функциональное пространства (Банахово пространство, Гильбертово пространство). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись.

Поиск по сайту: