Глоссарий (словарь)

ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — элементарная геометрия, изу­чаемая в школе; геометрия трехмерного пространства. Название «евклидова» связано с тем, что впервые более 2000 лет назад систематическое изложение геометрии дал Евклид. Существуют геометрии, отличающиеся от евклидовой, их называют неевкли­довыми геометриями (см. Лобачевского геометрия).

ЗАМКНУТАЯ ФИГУРА — фигура, содержащая все гранич­ные точки. Примеры 3. ф.: угол, шар, квадрат, полуплоскость. З.ф. не следует смешивать с понятием ограниченная фигура. Например, полуплоскость, угол — замкнутые, но неограничен­ные фигуры, квадрат и шар — замкнутые и ограниченные фи­гуры.

ЗНАКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ - знаки, служащие для запи­си математических понятий, предложений и выкладок.

Развитие З.м. было связано с общим развитием математики.

Первые З.м. для произвольных величин (площадей, объё­мов, углов) появились в Греции в V—IV.вв. до н. э. Создание современных алгебраических символов (З.м.) относится к XIV—XVII вв.

Современная математическая логика различает следующие основные группы З.м.: 1) знаки объектов, 2) знаки операций, 3) знаки отношений. К знакам объектов относятся знаки: 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, служащие для обозначения чисел. К знакам опе­раций относятся знаки действий (сложение, вычитание и др.) К знакам отношений относятся знаки равенства, неравенства, параллельности.и т. д. Ниже (приведены некоторые 3. м., вводи­мые новыми программами.

ИНТЕГРАЛ — важнейшее понятие математического анализа (см. Неопределенный интеграл, Определенный интеграл).

ИНТЕРВАЛЫ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ -интервалы, в которых функция возрастает или убывает. Задача на отыска­ние И. м. ф. решается как элементарным способом с использова­нием определения возрастающей (убывающей) функции, так и с помощью производной.

КАСАТЕЛЬНАЯ К ПЛО­СКОЙ КРИВОЙ в точке А — прямая АЕ, являющаяся пре­дельным положением секущей АВ, когда точка В неограни­ченно приближается к точке А. Если y=f(x) — уравнение кривой, точка А имеет координаты х₀ и уо, то уравнение касательной, прове­денной через А, имеет вид у = kх + b, где k = f' (х), b = у₀ —f' (x0) • хо.

КАТЕТ в прямоугольном треугольнике — каждая из сторон, заключающих прямой угол.

КВАДРАТ 1. К.—прямоугольник с конгруэнтными сторо­нами. К. можно определить и как ромб с прямыми углами или параллелограмм с конгруэнтными сторонами и прямыми углами. Отсюда следует, что К - обладает всеми свойствами параллело­грамма, прямоугольника и ромба. К.—правиль­ный четырехугольник. В К - можно вписать, а также около него описать окружность. К. имеет 4 оси симметрии и центр симмет­рии. Для построения К. необходимо задать его сторону или диа­гональ.

КОНГРУЭНТНЫЕ ФИГУРЫ. Две фигуры Р и Р1, наз. кон­груэнтными, если фигуру Р можно отобразить на фигуру Р1 так, что расстояние между любыми двумя точками, принадлежащими фигуре Р, равно расстоянию между соответствующими точками фигуры Р1. Между точками К. ф. имеется взаимно однозначное соот­ветствие. К. ф. обладают свойствами рефлективности, симметрич­ности и транзитивности. Конгруэнтны любые две точки, два рав­ных отрезка, две окружности с равными радиусами, два круга (шара) с равными радиусами, два куба с равными ребрами, все прямые углы, углы с равными величинами. Особую роль в гео­метрии играет конгруэнтность треугольников. (см. Признаки кон­груэнтности треугольников).

КОНСТАНТА — то же, что постоянная величина.

КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ — прямая, на которой указаны начало отсчета, единица масштаба и направление. Начало от­счета делит К. п. на два луча. На правом луче изображаются положительные, а на левом - отрицательные действительные числа. (Ср. с термином Числовая прямая).

КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость с введенными на ней координатами (Ср. с термином Числовая плоскость).

КООРДИНАТНЫЕ ОСИ (в декартовой системе координат):

1. К. о. на плоскости — две взаимно перпендикулярные пря­мые, проведенные на плоскости, с выбранным направлением и масштабом. Горизонтальная прямая наз. осью абсцисс, верти­кальная — осью ординат.

3. К. о. в пространстве -- три прямые, проходящие через на­чало координат так, что каждые две из них взаимно перпенди­кулярны. Прямая, перпендикулярная плоскости хОу, называет­ся осью аппликат.

à

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА а, начало которого ле­жит в начале координат на плоскости — координаты его конца и обозначается .

КООРДИНАТЫ ТОЧКИ — числа, определяющие положение точки на прямой, плоскости, в пространстве.

1. Координата точки на координатной прямой равна расстоя­нию этой точки от начала отсчета, выраженная в выбранных единицах масштаба.

2. Координатами точки М на плоскости наз. координаты про­екций этой точки на оси координат.

3. Координатами точки М в пространстве наз. координаты проекций этой точки на координатные оси и записывается М (х; у; z).

Существуют различные способы определения положения точ­ки, отсюда различные системы координат.

КОСИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается соsа. Функция у = соsа для произволь­ного значения а.

КОСИНУСОИДА — график функции у = соs х в прямоуголь­ной системе координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную относительно оси ординат.

КОТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается ctg а, являющаяся по величине обратной tg a, т.е. ctg a =1/tg a. Т.к. tg a = 1/ctg a. К. определяется и как отношение косинуса этого гла к его синусу, т.е. ctg a= cos a/ sin a, где a не равно пk.

Для прямоуголь­ного треугольника, где а<90°, К.— отношение прилежащего углу а катета к противолежаще­му катету. Функция у = сtg а определена для всех действи­тельных значений аргумента а, исключая точки разрыва а = пk, неограниченная, положи­тельная в интервалах пk<а<

п/2, отрицательная при – п.2 +пk<а<пk, равна ну­лю при а = п/2 (2k+ 1), периодическая с периодом п, име­ет ассимптоты х = пk, нечетная, т.к. ctg(—а) =—сtg a, убы­вающая во всех промежутках, на которых она определена, а по­тому не имеет ни максимума, ни минимума. В приведенных формулах везде k = 0, ± 1, ±2, •••. Термин котангенс введен в 1620 г. Э. Гунтером.

КОТАНГЕНСОИДА — график функции у =ctg х, представ­ляет разрывную плоскую кривую, состоящую из бесчислен­ного множества ветвей, симметричных относительно начала ко­ординат, пересекающих ось абсцисс в точках х =п/2 (2k+1),

где k = 0, ±1, ±2, •••, с асимптотами х = пk. К. можно полу­чить из тангенсоиды зеркальным отражением относительно оси Ох и сдвигом влево на отрезок п, т. к.

Ctg x = -tg(x+п/2).

КРУГ — множество точек плоскости, каждая из которых на­ходится от некоторой точки О той же плоскости на расстоянии, не превосходящем R. Расстояние между точками А и В, принадлежащими кр. (О; R), меньше или равно 2R. За величину площади круга прини­мается общий предел, к которому стремятся площади правиль­ных вписанного в него и описанного около него многоуголь­ников при неограниченном увеличении числа их сторон.

ЛОГАРИФМ — математический термин, введенный в науку Джоном Непером. Логарифмом числа N>0 по данному поло­жительному основанию а не = 1 называется показатель степени х, в который нужно возвести основание а, чтобы получить число N. Для обозначения логарифма числа N по основанию а употреб­ляется символ log_аN, введенный в 1624 г. И. Кеплером. Т.о., по определению логарифма: , где а > 0, а не = 1 и N > 0.

ЛОМАНАЯ —объединение отрезков A0A1,A1A2,A2A3, …, An-1An, не лежащих на одной прямой так, что конец каждого отрезка (кроме последнего) служит началом следующего отрезка. Отрез­ки Л. наз. звеньями или сторонами, их концы — вершинами, на­чало первого и конец последнего—концами. Л.. Л.., составленную из отрезков А0А1, А1A2, •••, An-1 An, обозначают АоА₁ ••• А_n. Л. наз. замкнутой, если конец ее последнего звена совпадает с на­чалом первого. Замкнутая Л. наз. простой, если ее несоседние звенья не пересекаются. Л. бывает выпуклой и невыпуклой (см. Выпуклая фигура). Длиной Л. наз. сумма длин всех ее звеньев. Длина Л. больше расстояния между ее концами.

ЛУЧ. Любая точка О, лежащая на прямой, делит ее множест­во точек на два непустых множества, причем точка О не принад­лежит ни одному из этих множеств. Каждое из этих множеств наз. открытым лучом с началом О, а объединение открытого лу­ча с его началом наз. лучом с началом О. Л. с началом О и ле­жащей на нем точкой А, не совпадающей с точкой О, обознача­ется [ОА).

Два Л., лежащие на одной прямой, наз. сонаправленными, если один из них содержится в другом, в противном случае они наз. противоположно направленными. Два Л., лежащие на па­раллельных прямых, наз. сонаправлениыми, если они лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала, в противном случае они наз. противоположно натравленными (см. Взаим­ное положение лучей).

МАКСИМУМ ФУНКЦИИ. Функция у = f(х) имеет макси­мум в точке x=а, если для всех x, достаточно близких к а, т.е. в окрестности этой точки [а+е, а-е], принадлежащей области определения этой функции, выполняется неравенство f(а)>f(х). Точка х = а. наз. точкой М. ф. Графически М.ф. выражает вер­шину кривой, а точка М. ф. — границу перехода от возрастаний к убыванию функции.

МАТЕМАТИКА — наука, изучающая количественные отно­шения и пространственные формы предметов, явлений. Разли­чают элементарную, высшую и прикладную М.

Главнейшие периоды в истории математики (по Колмогоро­ву А. Н.):

1) Период зарождения математики. Начало периода теряет­ся в глубине истории, кончается VI—V вв. до н. э. Этот период характерен накоплением фактического материала математики как неразделенной еще науки.

2) Период элементарной математики. Этот период начина­ется с VI—V вв. до н. э., кончается XVI в. Он отличается боль­шими достижениями в изучении постоянных величин. Геометрия в трудах Евклида приобретает строгую логическую систему и из опытной становится научной, зарождается аналитическая гео­метрия и учение о бесконечно малых.

3) Период создания математики переменных величин. Этот период начинается в XVI—XVII вв. и кончается серединой XIX в. Он открывается трудами Декарта, внесшего переменные вели­чины в аналитическую геометрию, Ньютона и Лейбница, создав­ших дифференциальное и интегральное исчисления. В рассмат­риваемый период сложились почти все научные дисциплины, изучаемые в настоящее время в высшей школе.

4) Период современной математики. Он начался с середины XIX в. работами Н. И. Лобачевского, открывшего новую, неевклидову геометрию. В настоящее время появилось много новых математических теорий, расширилось приложение математики во всех областях деятельности человека.

МИНИМУМ ФУНКЦИИ. Функция y = f(x) имеет минимум в точке х = а, если для всех х, достаточно близких к а, т. е. в окрестности этой точки [a+е; a+ е], принадлежащей области определения этой функции, выполняется неравенство f(а)<f(x).

Точка х = а наз. точкой М. ф. Графически М. ф. выражает вершину кривой, а точка М. ф. — границу перехода от убывания к возрастанию функции. М. ф. может быть как больше, так и меньше максимума.

МНОГОУГОЛЬНИК (плоский) — объединение простой замк­нутой ломаной и ее внутренней области. Вершины и звенья ло­маной соответственно называются вершинами и сторонами М., сама ломаная наз. границей М. Отрезок прямой, соединяющий две вершины М.. не принадлежащие одной стороне, наз. диаго­налью М. Из каждой вершины n-угольника можно провести п— 3, диагоналей, число всех диагоналей n-угольника а =n(n-3)/2.

Простейший выпуклый М.—треугольник. М. с четырьмя сторо­нами наз. четырехугольником, с пятью сторонами — пятиуголь­ником и т. д. Сумма величин внутренних углов М. S = 2d(п —2),.а сумма величин внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 4 d. Сумма длин всех сторон М. наз. его пери­метром. М. можно определить и как пересечение конечного числа полуплоскостей при условии, что это пересечение ограничен­но и не лежит на одной прямой. Площадь произвольного М. находится путем разложения его на треугольники (см. Пра­вильный треугольник).

НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ —логарифм, в котором за основание взято трансцендентное число

е = lim (1 + 1/n)" = 2,718281828459045....

Н. л. числа х обозначается ln х, что соответствует log_еХ. Тер­мин Н.л. ввел Меркатор в 1668 г. Н.л. большое применение на­ходят в высшей математике.

НАЧАЛО КООРДИНАТ — точка, в которой пересекаются оси

координат.

НЕОГРАНИЧЕННАЯ ФУНКЦИЯ —см. Ограниченная функ­ция.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — совокупность всех пер­вообразных функций F (х) + С для данной функции f (х) и обозначается где , где f(x)dx наз. подынтегральным выражением, С — постоянной интегрирования. Процесс нахождения первообразной функции по данному дифференциалу наз. интегрированием, а раздел мате­матического анализа, занимающийся интегрированием, наз. интегральным исчислением.

Интегрирование вводится как операция, обратная дифференцированию.

ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ — множество всех действительных значений аргумента х, при которых функция име­ет действительное значение: D(f). Для функции, заданной ана­литически, под О. о. ф. понимается множество допустимых зна­чений аргумента.

В О. о. ф. не входят те значения х, при которых:

а) знаменатель дробного выражения обращается в нуль.

б) подкоренное выражение корня четной степени принимает отрицательное значение.

в) выражение, стоящее под знаком логарифма, окажется от­рицательным числом или нулем.

г) основание логарифма окажется равным нулю или единице или меньше нуля.

д) выражение, стоящее под знаком арксинуса или арккоси­нуса, по модулю больше единицы.

ОБЪЕМ ТЕЛА. В основе теории измерения объемов тел ле­жит следующее допущение, которое может быть строго доказа­но. Допускаем, что каждому телу Р можно поставить в соответ­ствие положительное число V(F) так, что выполняются следую­щие условия:

1) конгруэнтным телам соответствуют равные числа;

2) если тело Р представляет соединение двух тел F1 и F₂, то ему соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих

телам Fи F;

3) кубу, ребро которого принято за единицу длины, соответ­ствует число один (единичный куб).

Число, соответствующее телу Р при этих условиях, называется объемом V(Р).

Из условий 1 — 3 вытекают следующие cследствия:

4) Если тело F представляет соединение тел F1, F2,..., Fn,

то V(F) = V(F1)+V(F₂) + … +V(Fn).

5) Если тело F представляет часть тела Ф, то V(F) <V(Ф).

6) Равносоставленные тела имеют равные объемы.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими; след., можно сказать, что равное оставленные тела равновелики. Обратное предложение, вообще говоря, не имеет места.

ОКРУЖНОСТЬ — множество всех точек плоскости, равно­удаленных на расстоянии r от заданной точки О той же плоско­сти, называемой центром окружности, и обозначается так: окр. (О; г). Коротко: Всякая точка х е Окр. (О; r) <=> \0х\=r. Отрезок, равный расстоянию любой точки О. до центра, наз. радиусом «обозначается R или r. Отрезок, соединяющий две точки О., наз. хордой; хорда, проходящая через центр,— диаметром и обозначается буквой d. (см. Длина окружности). Уравнение О. с центром в точке (а; b) имеет вид (x — a)²+ (у — b)² = r², а в точке (О; О) х² + y² = r².

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — математическое понятие, связанное с вычислением площади под графиком непрерывной функции у=f(x)(криволинейной трапеции), как пре­дела площадей некоторой последовательности прямолинейных фигур. - формула Ньютона – Лейбница.

ОРДИНАТА ТОЧКИ М — координата проекции точки М в декартовой системе координат на ось Оу. Термин ордината встречается у Аполлония, а в современном значении он употреб­лен Лейбницем в 1684 г.

ОРТ — единичный вектор. В прямоугольной системе координат О. обычно обозначают векторами i, j, k, направленными соответственно по осям Ох, Оу, Оz.

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ — перпендикулярный, прямоугольный.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ — неопределяемые понятия: точка, прямая, плоскость, расстояние. О. п. г.— началь­ные понятия, с введения которых начинается математическая наука. Между О. п. г. существуют взаимосвязи. Аксиомы уста­навливают связи между О. п. г. (см. Определение математиче­ского понятия).

ОСТРЫЙ УГОЛ — угол, меньший своего смежного; О. у. меньше прямого угла.

ОСЬ АБСЦИСС — неограниченная прямая ox, на которой в декартовой системе координат откладываются значения аргу­мента.

ОСЬ АППЛИКАТ — одна из осей z'z декартовых координат в пространстве, перпендикулярная плоскости хОу.

ОСЬ ОРДИНАТ — неограниченная прямая oy, на которой в декартовой системе координат откладываются значения функ­ции у=f(х).

.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ —выпуклый четырехугольник, у кото­рого противоположные стороны попарно параллельны. На языке теории множеств П.—пересечение двух полос. Расстояние

между параллельными сторонами наз. высотой П. Свойства П.: I) Противоположные стороны конгруэнтны. 2) Противополож­ные углы конгруэнтны. 3) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 2d. 4) Диагонали, пересекаясь, делятся пополам. Точки пересечения диагоналей — центр симметрии. 6) Диаго­наль делит П. на два конгруэнтных треугольника.

Для построения П. необходимо задать независимых три условия. Например: 1) Две стороны и угол между ними. 2) Две стороны и диагональ, соединяющую концы этих сторон. 3) Бо­ковую сторону, диагональ и угол между ними и т. п.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ — две плоскости, не имею­щие общих точек, или совпадающие.

Признаки П. п.: 1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Две плоскости, пер­пендикулярные к одной и той же прямой (плоскости), параллель­ны. Расстоянием между П. п. наз. отрезок перпендикуляра к этим плоскостям, заключенный между ними.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ. Прямая наз. параллельной плоскости, если она не имеет с ней общих точек или лежит на ней.

Признаки П.п. и П.: 1) Если прямая а параллельна какой-нибудь прямой b, расположенной в плоскости , то она параллельна пло­скости , т. е. . 2) если плоскость и пря­мая а, не принадлежащая этой плоскости, перпендикулярны к одной и той же прямой (плоскости) b, то а|| .

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. Две прямые а и b, лежащие в одной плоскости, наз. параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают и обозначается а||b. Кратко: а||b <=>(а = b или а b = 0}. Знак || ввел в 1677 г. Оутред, термин «параллельный» — Евклид. Параллельность пря­мых обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

Признаки П. п.: 1) Две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой, параллельны.

2) Цен­трально симметричные прямые параллельны. 3) Две прямые, пе­ресеченные третьей, параллельны, если: а) соответственные углы конгруэнтны; б) внутренние (внешние) накрест

лежащие углы конгруэнтны.; в) сумма величин внутренних (внешних) односто­ронних углов равна 2 и.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС — перемещение плоскости, при котором все ее точки перемещаются в одном и том же на­правлении на одно и то же расстояние. Если на плоскости дана

фигура Р, то преобразовав каждую ее точку А с помощью П. п., получим множество преобразованных точек А', образующих фигуру Р, конгруэнтную фигуре Р.

П. п. задается либо парой соответственных точек А и Т (А) =

V, либо вектором а (А) = А'.

ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция F(х) наз. первообразной для функции f (х) на некотором промежутке, если

F' (х) = f (х) для всех х, принадлежащих этому промежутку.

ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА — величина, которая в условии данного рассматриваемого процесса принимает различные зна­чения. Переменная величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать. Это множество различных значений переменной наз. областью изменения той переменной. Обозначение переменных буквами х, у, z,... ввел в 1637 г. Декарт.

ПЕРИМЕТР замкнутой фигуры - сумма длин всех её сторон.

ПИФАГОРОВА ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая чис­ловое соотношение между сторонами прямоугольного треуголь­ника: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В геометрической форме теорема Пифагора выражает-' я так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах прямо-мюльного треугольника. П. т. в геометрической 'форме была из­вестна в древнем 'Вавилоне более чем за 1000 лет до Пифагора cсейчас известно более 100 различных доказательств П. т.

ПЛАНИМЕТРИЯ — часть геометрии, изучающая свойства плоских фигур. 'Впервые курс планиметрии изложил Евклид в своих «Началах».

ПЛОСКАЯ КРИВАЯ — кривая, все точки которой лежат в ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ.

ПЛОСКАЯ ФИГУРА — фигура, все точки которой лежат в одной плоскости. Плоские фигуры подразделяются на выпуклые и невыпуклые, открытые и замкнутые, ограниченные и неограниченные, правильные и неправильные.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ— функция вида у = а^х, где

а>0 и а не = 1, обратная логарифмической функции у = log_ах. П. ф. у = е^х, где е~ 2,718..., наз. экспонентой.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО — неравенство, содер­жащее переменную под знаком показательной функции. П. н.— неалгебраическое неравенство. При решении П.«. используют свойства функций, входящих в неравенство.

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Общего приема реше­ния П. у. не существует.

ПОЛУПЛОСКОСТЬ. Фигура, составленная из прямой а и одной из двух открытых полуплоскостей, наз. полуплоскостью с границей а. Свойства П. с границей а: 1) две различные точки, лежащие в разных открытых полуплоскостях, разделены пря­мой а; 2) если эти точки лежат в одной и той же открытой полу­плоскости, то они не разделены прямой а.

ПОЛУПРОСТРАНСТВО — фигура, состоящая из плоскости а и одного из двух полупространств с границей а. Свойства П. аналогичны свойствам полуплоскости (см.)

ПОЛУПРЯМАЯ — луч (см.).

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — важнейшее понятие математи­ки. П. можно составить из элементов любой природы (чисел, фи­гур, функций). 'Числовой П. наз. функция натурального аргумен­та (числа). П., имеющая конечное число членов, наз. конечной, а П., состоящая из бесконечного числа членов, наз. бесконечной. Например, П. всех натуральных чисел бесконечна, а П. всех двузначных чисел конечна (см. Бесконечная числовая последо­вательность, Ограниченная числовая последовательность, Пре­дел числовой последовательности).

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ — выпуклые плоские многоугольники, имеющие конгруэнтные стороны и углы. Около каждого П. м. можно описать, а также вписать в него окружность. Построе­ние П. м. с помощью циркуля и линейки сводится к делению окружности на конгруэнтные части (см. Деление окружности). Начиная с пятиугольника, существуют невыпуклые (самопере­секающиеся или звездчатые) П. м., вершины.которых лежат на описанной окружности. Для построения таких П. м. требуется разделить окружность на n конгруэнтных частей и точки деле­ния соединить через одну, две, три.

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ — теоремы, ус­танавливающие необходимые и достаточные условия подобия треугольников. Два треугольника подобны, если:

1) два угла одного треугольника соответственно конгруэнт­ны двум углам другого. Отсюда следует: а) если соответствен­ные стороны треугольников параллельны или перпендикулярны, то треугольники подобны; б) прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие, отсекает от наго треугольник, подобный данному;

2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, конгру­энтны.

3) три стороны одного треугольника пропорциональны соот­ветственно трем сторонам другого;

4) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, лежащие против больших сторон, конгруэнтны.

В подобных треугольниках: 1) сходственные высоты, бис­сектрисы, медианы пропорциональны сходственным сторонам; 2) площади относятся как.квадраты сходственных сторон или как произведения сторон, заключающих равные углы.

ПРИЗНАКИ КОНГРУЭНТНОСТИ (РАВЕНСТВА) ТРЕ­УГОЛЬНИКОВ — теоремы, устанавливающие необходимые и достаточные условия конгруэнтности (равенства) треугольников.

Непрямоугольные треугольники конгруэнтны (равны), если у них соответственно конгруэнтны: 1) две стороны и угол между ними; 2) два угла и прилежащая к ним сторона; 3) три стороны;

Прямоугольные треугольники конгруэнтны (равны), если у них соответственно конгруэнты: 1) катеты; 2) катет и прилежа­щий к нему острый угол; 3) гипотенуза и острый угол; 4) гипо­тенуза и катет.

признак перпендикулярности прямой к плос кости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА. Если от значения аргумента х1 переходим,к значению х1, то разность х₂ — х1 наз. прираще­нием аргумента и обозначается х₂ — х1 = х. Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой. Знак х ввел Эйлер.

ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Если при значении аргумента XI.значение функции равно y1=f(x1), а при значении аргумента x2 значение функции у2 = f(х2), то разность y₂ — y1 =f(х2) — f(x₁) = f (x + A х)—f(х)=Aу. называется приращением функции. Геометрически приращение функции изображается приращением ординаты точки кривой. Знак у ввел Эйлер.

ПРОИЗВОДНАЯ функции у= f(х) по аргументу х есть пре­дел отношения приращения функции y к приращению аргу­мента x, когда xà0.

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ (ПРЯМАЯ)—основное понятие в евкли­довой геометрии. Представление о прямой дает нам туго натя­нутая нить. Свойства П.л.: 1. Через одну точку можно провес­ти бесчисленное множество прямых, т. е. пучок прямых. 2. Через две точки можно провести только одну прямую. 3. Прямая неограничена. 4. Две прямые пересеваются в одной точке.

ПРЯМОЙ УГОЛ — угол, равный своему смежному. П.у. со­держит 90° или п/2 радианов. П. у. обозначается буквой (от фр. слова droit — прямой). П. у. употребляется в качестве еди­ницы измерения углов.

ПРЯМОУГОЛЬНИК — параллелограмме прямыми углами, поэтому он обладает всеми его свойствами. Кроме того П. имеет свои особые свойства: 1) диагонали его конгруэнтны, 2) имеет две оси симметрии, которые проходят параллельно сторонам через точку пересечения диагоналей. Около П. можно описать ок­ружность.

Для построения П. необходимо задать два независимых ус­ловия. Например: 1) две смежные стороны; 2) диагональ и одну сторону; 3) основание и угол между ним и диагональю и т. п. Параллелограмм АВСО есть прямоугольник, если: 1) его диаг онали конгруэнтны; 2) имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК —треугольник, у ко­торого один угол (С) прямой, стороны, заключающие прямой угол (АС = Ь, ВС =а), наз..катетами, а сторона АВ = с, ле­жащая против прямого угла наз. гипотенузой.

РАВНОБЕДРЕННАЯ ТРАПЕЦИЯ — трапеция с конгруэнт­ными боковыми сторонами. Свойства Р. т.: 1) углы при основа­ниях конгруэнтны; 2) диагонали конгруэнтны; 3) сумма вели­чин углов, прилежащих к боковой стороне, равна 2(1; 4) сумма величин противоположных углей равна 2й; 5) около Р. т. можно описать окружность; 6) имеет одну ось симметрии, проходящую через середины оснований.

Для построения Р. т. достаточно трех основных данных.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, у которого две стороны (боковые) конгруэнтны; треть-я его сторона наз. основанием. Р. т. (неравносторонний) имеет одну ось сим­метрии, углы его при основании конгруэнтны; биссектриса, вы­сота, медиана, проведенные из вершины на основание, совпада­ют. Точки пересечения трех высот (h_a, hb, h_с), трех медиан (т_а mb, т_c), трех биссектрис (l_А, lв, lс) — три точки — лежат на бис­сектрисе угла^: при вершине, не совпадая друг с другом.

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник с кон­груэнтными сторонами, т.е. правильный треугольник. Р. т. имеет три оси симметрии, пересекающиеся в центре симметрии, кото­рый одновременно является центром тяжести, ортоцентром тре­угольника,.центром вписанной и описанной окружностей.

РАДИАН — центральный угол, длина дуги которого равна длине радиуса окружности.

РАДИУС-ВЕКТОР точки М плоскости (пространства)—на­правленный отрезок, начало которого совпадает с началом пря­моугольной системы координат, а коней — с точкой (М, обознача­ется ОМ или М.

РАЗВЕРНУТЫЙ УГОЛ —угол, стороны которого составля­ют одну прямую. Р. у. равен 180° или П радианам. Р. у. иногда называют выпрямленным углом.

СЕКТОР. 1. С. криволинейной фигуры — ее часть, ограни­ченная двумя прямыми, исходящими из точки внутри фигуры, и дугой контура.

СИММЕТРИЯ — свойство фигуры. 1. С. на плоскости относи­тельно прямой (оси) наз. такое расположение точек, при кото­ром (каждые две точки лежат: 1) по разные стороны от осп; 2) на одном перпендикуляре к оси; 3) на равном расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричными относительно пря­мой, если каждой точке А фигуры Р однозначно соответствует симметричная точка А' фигуры Р' и наоборот.

2. -С. на плоскости относительно точки (центра) наз. такое расположение точек, при котором каждые две точки, лежащие на одной 'прямой, проходящей через эту точку, находятся на одина­ковом расстоянии от нее. Две фигуры Р и Р' наз. симметричны­ми относительно точки (центра), если каждой точке А фигуры Р однозначно (соответствует точка А' фигуры Р', симметричная от­носительно этой же точки, и наоборот.

3. С. в пространстве относительно плоскости а наз. таксе рас­положение точек, при.котором каждые две точки А и А', лежа­щие на одной прямой АА', перпендикулярной к плоскости а, на­ходятся на одинаковом расстоянии от нее.

4. С. в пространстве относительно прямой / наз. такое распо­ложение 'точек, при котором каждые две точки А и А', лежащие на прямой АА', перпендикулярной к прямой /, находятся на рав­ном расстоянии от нес.

Учение о С. применяется в науке, технике, производстве. Впервые учение о С. ввел Лежандр. Термин С. употребляется и как вид перемещения (см.).

СИНУС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается sin а.

СИНУСОВ ТЕОРЕМА — теорема, устанавливающая зависи­мость между сторонами треугольника,и синусами противолежа­щих углов.

Читается: в треугольнике стороны про­порциональны синусам противолежащих углов. Эта теорема была найдена Брахмагуптой и впервые доказана Нагарэддином Туе и. Европейские математики ею пользовались, начиная с XVI в.

СИНУСОИДА — график функций у =sin х в прямоугольной системе координат, представляющий сплошную плоскую кривую, симметричную относительно начала координат, пере­cекающую ось абсцисс в точках х = п k, где k = 0; ±1; ± 2;... причем |sin x| <= 1, имеющую максимум, равный + 1 в точках х = п/2 (4k+1), и минимум, равный — 1, в точках х = п/2 (4k-1).

Прямая у = х — касательная к С. в точке (0; 0).

СКАЛЯР - величина, определяемая только числовым значением, например: длина, площадь, объём, масса и др.

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ —функция, промежуточный аргумент которой;в свою очередь является функцией от нового аргумента: у = F[f(x)].

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ —два утла, у которых одна сторона об­щая, а две другие составляют прямую.

Чтобы построить угол, смежный с данным, достаточно одну из сторон его продолжить за вершину. Если два С. у. конгруэнт­ны, то стороны их взаимно перпендикулярны.

СФЕРА — замкнутая поверхность, обладающая тем свойст­вом, что все точки, лежащие на ней, одинаково удалены от одной точки, называемой центром С. С.— поверхность вращения полу­окружности около своего диаметра. Взаимное положение двух С, аналогично взаимному положению двух окружностей на плоско­сти. Определение касательной плоскости к С. (шару) аналогич­но определению касательной к окружности. Сечение С. плоскостью есть окружность.

СФЕРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ —поверхность сферы, шара.

ТАНГЕНС — одна из тригонометрических функций угла а, которая обозначается tg а. Функция у = tg a для произвольного значения а определяется так: построим две взаимно перпендику­лярные прямые х,х и у'у и из точки пересечения их опишем ок­ружность радиуса г = 1.

В прямоугольном треуголь­нике, где а < 90°, тангенс уг­ла а определяется как отношение противолежащего этому уг­лу катета к прилежащему.

ТАНГЕНСОИДА — график функции у = tgх в прямоуголь­ной системе координат. Т. представляет разрывную, плоскую кривую, состоящую из бес­численного множества оди­наковых между собой вет­вей, симметричных отно­сительно начала координат, пересекающих ось абсцисс

в точках а = пk, где k = 0; ±1; ±2,....

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ — геометрические тела, образуемые вра­щением плоских фигур вокруг оси, расположенной в плоскости вращаемой фигуры.

ТЕОРЕМА — всякое математическое предложение (кроме акcиомы и определения), истинность которого устанавливается пу­тем доказательства. В ранний период изучения геометрии Т. в большинстве случаев формулируются (в виде условного предло­жения с использованием слов «если» и «то».

В Т. различают две части: 1) условие, в нем говорится о том, что дано теоремой; 2) заключение, в нем говорится о том, что требуется доказать. Если в данной Т. условие заменить заключе­нием, а заключение — условием, то получится новая Т., обратная данной (прямой). Такие две Т. наз. взаимно обратными. Взаим­но обратные Т. либо обе верны, либо обе неверны, либо одна верна, а другая нет)

ТОЧКА — одно из первичных отвлеченных понятий геомет­рии. Т.— граница смежных частей линии. Движение Т. образует линию. Т. не имеет никакого измерения.

ТОЧКА РАЗРЫВА — см. Непрерывная функция.

ТРАПЕЦИЯ — выпуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не парал­лельны.

ТРЕУГОЛЬНИК (плоский) —объединение простой замкну­той ломаной, состоящей из трех звеньев, и ее внутренней обла­сти. Отрезки ломаной наз. сторонами, а ее вершины —верши­ной Т. Шесть величин: длины сторон и величины углов наз. ос­новными элементами Т; высоты, биссектрисы и медианы — главными линиями Т.

ТРИГОНОМЕТРИЯ — раздел математики, изучающий три­гонометрические функции, их свойства и применение их к реше­нию задач. Т. различают плоскую (прямолинейную), занимаю­щуюся решением плоских треугольников, и сферическую, кото­рая занимается решением сферических треугольников.

Раньше Т. ^:была частью астрономии. Позже она отделилась в самостоятельную науку. Отделение Т. от астрономии принад­лежит ат-Тусси. Современный вид Т. получила в трудах Эйлера.

ТУПОЙ УГОЛ — угол, больший своего смежного. Т. у. боль­ше прямого, но меньше развернутого угла.

ТУПОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК — треугольник, у кото­рого один угол тупой.

УГОЛ (ПЛОСКИЙ) — фигура, образованная двумя различ­ными лучами с общим началом вместе с одной из двух частей плоскости, на которые эти лучи разбивают ее.

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ а —острый угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость а. Такой угол — наименьший из всех углов, которые наклонная составля­ет с любой прямой плоскости.

УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ может быть скалярным и векторным. Скалярное У. д. в. дает число, векторное — вектор.

ФУНКЦИЯ- Эйлер определил Ф. как аналитическое выраже­ние, содержащее переменную и число. Лобачевский в 1834 г. и.Дирихле в 1837 г. дали более широкое определение числовых функций: переменную у наз. Ф. переменной х на отрезке [а;Ь], если каждому элементу х этого отрезка соответствует одно определенное значение у. Величину у также называют зависимой пе­ременной, а величину х — независимой переменной или аргумен­том.

ЦИЛИНДР — тело, ограниченное замкнутой цилиндричес­кой поверхностью и секущими ее двумя параллельными плос­костями. Части секущих плоскостей, ограниченные цилиндри­ческой поверхностью, наз. основаниями Ц. Ц. наз. прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям, в против­ном случае — косым или наклонным, круговым — если в оcновании его лежат круги; равносторонним — если диаметр круга основания равен длине образующей. Расстояние между осно­ваниями наз. высотой; высота, проходящая через центры осно­ваний, наз. осью Ц. Сечение Ц. плоскостью, проходящей через ось, наз. осевым. Круговой Ц. — тело вращения, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Пря­мой круговой Ц. чаще называют просто Ц. Часть цилиндри­ческой поверхности, заключенная между плоскостями основа­ний, наз. боковой поверхностью Ц.

За величину объема Ц. принимается общий предел, к кото­рому стремятся объемы n-угольных правильных призм, вписан­ной в «его, и описанной около него, при неограниченном увели­чении числа п.

ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, на зываемая образующей цилиндра, которая, оставаясь параллельной заданному направлению, скользит по заданной (направля­ющей) кривой. Если направляющей будет окружность, то Ц. п, будет называться круговой.

ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция y= f(x) наз. четной, если область ее определения симметрична относительно оси ординат

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев. Ч. бывает выпуклым и невыпуклым. К Ч. относятся: квад­рат, ромб, прямоугольник, па­раллелограмм, трапеция, ром­боид (дельтоид) и Ч. общего вида.

ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ — множество К действительных чи­сел. Соответствие между множеством К действительных чисел и точкой Ч. п. взаимно однозначно. Ч. п. одна, координатных прямых много.

ШАР — множество точек пространства, расстояния которых до заданной точки О, называемой центром Ш., не больше за­данного расстояния R (радиуса Ш.) Ш.— тело, ограниченное сферой. Сечение Ш. плоскостью

— круг. Площади сечений равны, если они равноудалены от центра. Круг, образованный сечением Ш. плоскостью, про­ходящей через центр, наз. большим кругом, не проходя­щей через центр—малым кру­гом Ш. Окружности двух боль­ших кругов при пересечении делятся пополам. Диаметр Ш. является его осью. Взаимное положение двух Ш. (сфер)

аналогично взаимному положению двух окружностей на плоскости (см. Взаимное поло­жение двух окружностей). Касательная плоскость к Ш. опре­деляется аналогично касательной к окружности.

ЭКСТРЕМАЛЬНАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ —точка, в которой функция имеет экстремум, т. е. максимум или минимум.

ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ у = f(х) - термин, объединяю­щий понятия максимума и минимума.

Поиск по сайту: