Лекция №4 Основы математической статистики

1. Генеральная и выборочная совокупности.
2. Оценка неизвестных параметров.
3. Точечные оценки параметров.
4. Интервальные оценки параметров.
5. Проверка статистических гипотез.

Основные понятия темы

Математическая статистика – раздел математики. В котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей. Говорят, что «математическая статистика - это теория принятия решений в условиях неопределённости».

Предметом математической статистики является изучение случайных величин (случайных событий, процессов) по результатам наблюдений (опытов, экспериментов).

Можно выделить три основных задачи математической статистики:

1) упорядочить, представить в удобном для обозрения и анализа данные наблюдений;

2) оценить характеристики наблюдаемой СВ;

3) проверить статистические гипотезы, т.е. решить вопрос согласования результатов оценивания с опытными данными.

Генеральной совокупностью называется множество всех возможных значений исследуемой СВ Х. Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности, генеральной - N или выборочной - n, называется её объёмом. конкретные значения выборки, полученные в результате наблюдений. Называют реализацией выборки и обозначают строчными буквами .

Статистической оценкой параметра теоретического распределения называют его приближённое значение, зависящее от данных выбора. Оценка есть значение некоторой функции результатов наблюдений над СВ, т.е. = ().

Свойства статистических оценок

1. Оценка параметра называется несмещённой, если M = , в противном случае она называется смещённой.
2. Оценка называется состоятельной, если при увеличении объёма выборки значение стремится (сходится) по вероятности к истинному значению параметра .
3. несмещённая оценка параметра называется эффективной. Если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещённых оценок параметра .

Точечные оценки параметров генеральной совокупности

Пусть - выборка генеральной совокупности, тогда выборочное среднее

= - несмещённая и состоятельная оценка математического ожидания МХ.

Пусть - выборка генеральной совокупности, тогда исправленная выборочная дисперсия

Интервальное оценивание параметров

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами – концами интервала. Интервал (), накрывающий с вероятностью γ истинное значение параметра , называется доверительным интервалом, а вероятность γ - надёжностью оценки или доверительной вероятностью. Часто доверительный интервал выбирается симметричным относительно несмещённой точечной оценки , т.е. выбирается интервал вида ( -ε, +ε) такой, что Р(| - |<ε)=γ. Число ε>0 характеризует точность оценки.

Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии

γ=Р(| |)=2Φ ()=2Φ (t), где t= . Тогда ε= .

Доверительный интервал для a=MX есть , где t определяется из уравнения Φ (t)= или Φ(t)=

Проверка статистической гипотезы состоит из этапов:

Поиск по сайту: