Доведіть твердження

Вправи і задачі теоретичного характеру.

1. для будь-яких , .

2. тоді тільки тоді, коли .

3. для будь-яких , .

4. для будь-яких , .

5. .

6. для будь-яких , та (вказівка: в нерівності попередньої вправи 9 взяти , та просумувати).

7. Простір є векторним.

8. Простір є векторним.

9. Простір є векторним.

10. Функція є скалярним добутком на векторному просторі .

11. Функція є скалярним добутком на векторному просторі .

12. Функція є нормою на векторному просторі .

13. Функція є відстанню на множині .

14. Функція скалярним добутком на векторному просторі .

15. Функція є нормою на векторному просторі .

16. Функція є відстанню на множині .

17. Функція є нормою є на векторному просторі .

18. Функція є відстанню на множині .

19. Функція є нормою на векторному просторі .

20. Функція не є нормою на векторному просторі .

21. Функція не є скалярним добутком на векторному просторі .

22. Функція є відстанню на множині .

23. Функція не є відстанню на множині .

24. Функція є відстанню на непорожній множині , якщо –відстань на .

25. Функція є відстанню на непорожній множині , якщо –відстань на .

26. Функція є відстанню на непорожній множині , якщо –відстань на .

27. Функція є відстанню на множині .

28. Функція є відстанню на множині , якщо –довільні додатні числа, і з’ясувати чи буде ця функція відстанню на , якщо серед чисел принаймні одне дорівнює нулеві.

29. Функція є відстанню на множині .

30. Функція є відстанню на множині .

31. Функція є відстанню на множині всіх послідовностей .

32. Функція є відстанню на множині , якщо функція є строго монотонною на , і з’ясувати чи буде ця функція відстанню на , якщо функція в деяких різних точках приймає однакові значення..

33. Множина зі звичайними операціями додавання і множення на числа є векторним простором.

34. Множина всіх послідовностей дійсних чисел таких, що ряд є збіжним, зі звичайними операціями додавання і множення на числа є векторним простором.

35. Функція є нормою на множині всіх послідовностей дійсних чисел таких, що ряд є збіжним, зі звичайними операціями додавання і множення на числа є векторним простором.

36. Функція є відстанню на множині всіх послідовностей дійсних чисел таких, що ряд є збіжним.

37. Множина всіх обмежених послідовностей дійсних чисел, зі звичайними операціями додавання і множення на числа є векторним простором.

38. Функція є скалярним добутком на векторному просторі .

39. Функція є скалярним добутком на векторному просторі .

40. Функція є нормою на множині всіх обмежених послідовностей дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на числа є векторним простором.

41. Функція є відстанню на множині всіх обмежених послідовностей .

42. Функція є відстанню на довільній непорожній множині .

43. Для будь-яких дійсних чисел , , та виконується нерівність .

44. Для будь-яких елементів , , та метричного простору виконується нерівність чотирикутника .

45. Функція є нормою на .

46. Функція є відстанню на .

47. для будь-яких і .

48. для будь-яких , та .

49. (нерівність Юнга) для будь-яких , і , , (вказівка: розглянути функцію і показати, що для ).

50. (нерівність Гельдера) , , (вказівка:в нерівності Юнга взяти , ).

51. (нерівність Мінковського)

, для .

(вказівка: для застосувати нерівність Гельдера, записавши

.

52. Послідовність в метричному просторі не може мати більше однієї границі.

53. Функція , , є нормою на векторному просторі .

54. .

55. .

56. Функція , , є відстанню на множині .

57. Простір , , є векторним.

58. Функція є нормою на векторному просторі .

59. Функція є відстанню на множині .

60. Функція є скалярним добутком на векторному просторі .

61. Функція є нормою на векторному просторі .

62. Функція є відстанню на векторному просторі .

Поиск по сайту: