Модифицированный метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y^/=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим прямой линией.

Рисунок 1 Метод Эйлера в графическом виде

Получаем точку М_к(х_к,у_к). Через М_к проводим касательную:

у=у_к=f(x_k,y_k)(x-x_k)

Делим отрезок (х_к,х_к1) пополам

x_Nk^/=x_k+h/2=x_k+1/2 (6)

y_Nk^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=α_k (7)

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

у_к+1=у_к+α_кh

x_k+1=x_k+h

α_k=f(x_k+h/2, y_k+f(x_k,Y_k)h/2) (8)

y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h (8)

(8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

Сначала вычисляют вспомогательные значения искомой функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (5) в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют у_к+1.

Для оценки погрешности в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

| у_к^*-у(х_к)|=1/3(y_k^*-y_k), (9)

где у(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y^//=f(y^/,y,x) c начальными условиями y^/(x₀)=y^/₀, y(x₀)=y₀, выполняется замена

y^/=z (10)

z^/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные условия

y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀, z₀=y^/₀ (11)

//Алгоритм решения вашей задачи

// Разработка программы

Какие переменные, функции, процедуры использовали

//Отладка программы на контрольном примере. Берете простейший пример и показываете что программа работает правильно.

//Сравнение результатов расчета и оценка погрешностей (Эксель, Маткад)

Поиск по сайту: