Кульминация светил

Если светило находится в верхней кульминации, то его часовой угол равен 0 ⁰. Тогда соотношение (1):

cos z _.= sin φ _* sin δ + cos φ _* cos δ _* cos t

приобретает вид:

cos z _В.= sin φ _* sin δ + cos φ _* cos δ (10)

Напомню формулу косинуса разности двух углов:

сos(α - β)_. = cos α _* cos β + sin α _* sin β (11)

Сравнивая соотношения (10) и (11), получим:

z _В = φ – δ (12)

Для получения этого соотношения необязательно пользоваться формулами преобразований координат (например, Вы их забыли). Они легко получается из рисунка 7. Здесь представлено сечение небесной сферы плоскостью небесного меридиана. Линия М _В М _Н – соединяет точки верхней (М _В) и нижней (М _Н) кульминаций звезды.

Угол NOP (красная дуга) - это высота полюса мира над горизонтом (h_p). Угол QOM _В (синяя дуга) – это склонение звезды – δ.

Угол SOM _В (розовая дуга) – это h _В – высота звезды в верхней кульминации над горизонтом. Угол NOK равен углу QOS и равен 90⁰- φ. Учитывая это получаем, что h _В = 90 – φ + δ, что мы получили выше (13).

Совершенно аналогично формулу для определения высоты светила в нижней кульминации можно вывести из соотношения (1) подставив значение часового угла в светила в нижней кульминации: t _Н = 180⁰ , тогда соотношение (1) запишется:

cos z _.= sin φ _* sin δ - cos φ _* cos δ, так как(cos 180⁰ = - 1).

Поменяв знаки на противоположные обеих частей уравнения, получим соотношение:

- cos z _.= cos φ _* cos δ - sin φ _* sin δ

Сравним это выражение с формулой из школьного курса тригонометрии для определения косинуса суммы двух углов:

- cos (α + β) = cos α _* cos β - sin α _* sin β

Сравнивая эти два выражения и учитывая, что:

- cos (α + β) = cos{-(α + β)}, получим что - z = φ + δ.

Зная, что z = 90⁰- h, получим формулу для определения высоты светила в нижней кульминации:

h _Н = φ + δ - 90⁰ (14)

Для получения этого соотношения необязательно пользоваться формулами преобразований координат. Оно легко получается из рисунка 8.

Угол NOP (красная дуга) - это высота полюса мира над горизонтом, равная географической широте мест наблюдателя (h_p= φ);

Угол КOM _Н (синяя дуга) – это склонение звезды – δ;

h _В = 47⁰ 14', h _Н = - 15⁰ 34'

Таким образом, правильные и полные ответы на данную задачу будут:

t_В = 242,29⁰ = 242⁰ 17' = 16,153^h = 16^h 9^m

t_З = 117,71⁰ = 117⁰ 43' = 7,847^h = 7 ^h 51 ^m

А_В = 238,4⁰ = 238⁰ 24'

А_З = 121,68⁰ = 121⁰ 41^'

h _В = 47⁰ 14'

h _Н = - 15⁰ 34'

Вторая пробная задача:

Определить по городским часам время восхода, захода и обеих кульминаций звезды, экваториальные координаты которой, например, равны: α = 6^h40^m, δ = - 16⁰. (Это Сириус.) Дата 10 января. Географические координаты наблюдателя равны:

λ = 3^h 19 ^m восточной долготы, φ = 58⁰ 36' северной широты (это Киров).

Прежде чем приступать к решению задачи необходимо проверить данную звезду на невосходимость и на незаходимость. Напомню, что звезда со склонением δ не заходит на данной широте φ, если её склонение δ ≥ 90⁰ - φ. Звезда не восходит, если её склонение δ ≤ - (90⁰ – φ). Для таких звёзд есть смысл определять только высоты в верхней и нижней кульминациях

.

Решение такой задачи начинается с определения часовых углов точек восхода и захода. С этим Вы знакомились при решении предыдущей задачи. Если Вы рассчитаете эти углы для данной задачи, Вы должны получить:

t_В = 298⁰,034 = (298⁰,034 : 15)^h = 19,869^h = 19^h 52^m

t_З = 61⁰,966 = (61⁰,966: 15)^h = 4,131^h = 4^h 7,86^m ≈ 4^h 8^m

Дальнейшее решение задачи потребует вычисления значения звёздных времён восхода и захода. Для этого можно воспользоваться следующим соотношением:

S = α + t (15)

Здесь: S – показания звёздных часов;

α – прямое восхождение какого-либо светила;

t -часовой угол этого же светила.

Опираясь на это, определим звездное время в моменты восхода и захода нашей звезды:

S_В = α + t_В = 6^h 40^m + 19^h 52^m = 25^h 92^m = 2^h 32^m

S_З = α + t_З = 6^h40^m + 4^h 8^m = 10^h48^m

Здесь: t_В – часовой угол точки восхода звезды.

t_З - часовой угол точки захода звезды.

Воспользуемся снова соотношением (15), применяя в качестве светила среднее Солнце:

S = α_ср + t_ср (16)

Здесь: S – показания звёздных часов;

α_ср – прямое восхождение среднего Солнца;

t_ср -часовой угол среднего Солнца.

Показания прямого восхождения среднего Солнца будем рассчитывать приблизительным способом:

Прямое восхождение среднего Солнца в день весеннего равноденствия равняется 0^h

и за каждые последующие сутки оно увеличивается на 4^m. Поэтому прямое восхождение среднего солнца можно рассчитывать по соотношению:

α_ср = 4^m× n (17)

Здесь: n – число полных суток, прошедших после даты 21 марта до нужной нам даты.

В некоторых случаях (особенно если наша дата отстоит от 21 -го марта далеко – как в нашем случае - удобнее исходить из того, что в даты равноденствий и солнцестояний α_ср равняется известным целым числам. Так, в дату 22 июня α_ср = 6^h, в дату 21 сентября α_ср = 12^h,в дату 22 декабря α_ср = 18^h . В нашем случае проще не считать количество суток, прошедших с 21 марта по 10 января. Поступим проще: подсчитаем число суток n₁ прошедших от 22 декабря по 10 января. n₁ = 20 суток. Значит α_ср в дату 10 января будет равно: α_ср = 18 ^h + 4^m× n₁ = 18^h 80^m = 19^h 20^m .

Поскольку этот метод определения α_ср приблизителен, то нет смысла учитывать тот факт, является ли год високосным или нет. Мы будем считать, что все годы не високосные.

Из соотношение (16) определяем t^в_ср и t^З_ср -часовые углы среднего Солнца в моменты восхода и захода звезды:

t^в_ср = S_в - α_ср = 2^h 32^m - 19^h 20^m = - 16^h 48^m = 7^h 12^m t^З_ср = S_З - α_ср = 10^h48^m - 19^h 20^m = - 8^h 32^m = 15^h28^m

Далее остаётся перейти к показаниям городских часов в моменты восхода и захода звезды:

Т_В = t^в_ср + 12^h – λ + 4^h = 7^h12^m + 12^h – 3^h 19^m + 4^h = 19^h 57^m

Т_З = t^З_ср + 12^h – λ + 4^h = 15^h28^m + 12^h – 3^h 19^m + 4^h = 4^h 13^m

Для определения времени верхней и нижней кульминаций звезды достаточно вспомнить, что в момент верхней кульминации её часовой угол равен t^в = 0⁰ = 0^h и, следовательно, согласно уравнению (15), звёздное время в момент её верхней кульминации будет равно прямому восхождению звезды:

S_верх = α = 6^h 40^m

В момент нижней кульминации её часовой угол равен t^н = 180⁰ = (180/15)^h = 12^h и, следовательно, согласно тому же уравнению (15), звёздное время в момент её нижней кульминации будет на 12 часов больше её прямого восхождения:

S _нижн = α + 12^h = 18^h 40^m

Опираясь на соотношение (16), находим часовые углы среднего Солнца в моменты верхней и нижней кульминации звезды:

t^верх_ср. = S_верх - α_ср = 6^h 40^m - 19^h 20^m = 11^h 20^m

Далее опираясь на соотношение, связывающее часовой угол среднего Солнца с показаниями городских часов:

Т = t_ср + 12^h – λ + 4^h (18)

находим показания городских часов в момент верхней кульминации звезды:

Т_В.К = t^верх_ср + 12^h – λ + 4^h = 7^h12^m + 12^h – 3^h 19^m + 4^h = 19^h 52^m

Время нижней кульминации будет отличаться от времени верхней кульминации на 12 часов:

Т_Н.К. = Т_В + 12^h = 7^h 52^m

Таким образом, правильные и полные ответы на данную задачу будут:

Т_В = 19^h 52^m

Т_З = 4^h 13^m

Т_В.К. = 19^h 52^m

Т_Н.К. = 7^h 52^m

Третья пробная задача:

Определить горизонтальны координаты (азимут - А и высота - h) звезды в 1^h по городским часам. Экваториальные координаты её равны: α = 14^h16^m, δ = 19⁰11'. (Это Арктур). Дата 26 февраля. Географические координаты наблюдателя равны:

λ = 3^h 19 ^m восточной долготы, φ = 58⁰ 36' северной широты (это Киров).

Для решения такой задачи необходимо пользоваться формулами преобразований координат (1,2,3):

cos z _.= sin φ _* sin δ + cos φ _* cos δ _* cos t (1)

sin z _.* sin А = cos δ _* sin t (2)

sin z _{. *} cos А = sin φ _* cos δ _* cos t - cos φ _* sin δ (3)

Напомню, что z + h = 90⁰ (См. «Горизонтальные координаты»).

Решение такой задачи начинается с определения звездного времени в заданную дату и в заданное время, используя соотношение (16):

S = α_ср + t_ср

Прямое восхождение среднего Солнца мы находили в предыдущей задаче, опираясь на соотношение (17): α_ср = 4^m× n. Напомню, что в данном соотношении n – это число суток, прошедших от даты 21 марта до нашей даты. В нашем случае n = 342.

α_ср = 342 × 4^m = 1368 ^m = 22^h 48 ^m

Часовой угол среднего Солнца в заданный нам момент времени находим, опираясь на соотношение (18).

Т = t_ср + 12^h – λ + 4^h = t_ср + 16^h – λ

Долгота наблюдателя λ = 3^h 19^m

Откуда: t_ср = T + λ - 16^h = 1^h + 3^h 19^m - 16^h = 12^h 19^m

Значит: S = α_ср + t_ср = 22^h 28^m + 12^h 19^m = 34^h47^m = 11^h 7^m

Зная показания звёздных часов и прямое восхождение звезды, опираясь на соотношение (16), можно определить часовой угол звезды:

t = S - α = 11^h 7^m - 14^h 16^m = - 3^h 29^m = 24 ^h - 3^h 29^m = 20^h 51^m

Поскольку величина часового угла далее использована как аргумент синуса (1), его необходимо выразить в угловых величинах, в градусах и их долях:

t = 20^h 51^m = 20^h +(51: 60)^h = 20^h,85 = (20^h,85 × 15)⁰ = 312⁰,75

Подставляя полученное значение часового угла в соотношение (1), определяем зенитное расстояние звезды:

cos z _.= sin φ _* sin δ + cos φ _* cos δ _* cos t =

cos z = 0,854 _* 0,329 + 0,521 _* 0,944 _* 0,679 = 0,615

z = 52⁰,048 = 52⁰ 03^'

Так как сумма зенитного расстояния и высоты светила равна 90⁰ ( См. «Горизонтальные координаты»), то h = 37⁰ 57'.

Вторую координату – азимут - А – определяем из уравнения (2):

_.sin А = (cos δ _* sin t):sin z = (0,944 _* (- 0,734)): 0,789 = - 0,878. Синус имеет два одинаковых значения для любого угла. В случае его положительного значения эти углы лежат в 1-ой и 2-ой четвертях. В случае его отрицательного значения, как у нас, эти углы лежат в 3-ей и 4-ой четвертях: А' = - 61⁰,4 = 298⁰,6 и А'' = 241⁰,4. Для того, чтобы выбрать то значение, которое удовлетворяет условиям задачи, определим из уравнения (3) cos А:

cos А = (sin φ _* cos δ _* cos t - cos φ _* sin δ): sin z

= (0,854 _* 0,944 _* 0,679 - 0,521 _* 0,329): 0,789) = 0,477

Отсюда А' = 61⁰,51 и А'' = 298⁰,49 ≈ 298,5

Сравнивая полученные значения азимутов, видим, что одно из значений азимута

(А = 298⁰,5) повторяется (незначительное отличие объясняется округлениями промежуточных результатов). Этот результат и принимаем за правильный ответ:

А = 298⁰,5 = 298⁰ + (0⁰,5 × 60)' ≈ 298⁰30'

Таким образом, правильные ответы на данную задачу будут:

h = 37⁰ 57'

А = 298⁰30'

Четвёртая пробная задача:

Определить экваториальные координаты (прямое восхождение – α и склонение - δ) звезды в 1^h по городским часам. Горизонтальные координаты её равны:

азимут А = 298⁰30' и высота h = 37⁰ 57'. Дата 26 февраля. Географические координаты наблюдателя равны: λ = 3^h 19^m восточной долготы, φ = 58⁰ 36' северной широты.

Эта задача является обратной по отношению к предыдущей и для её решения необходимо использовать другую группу соотношений – уравнения 4, 5 и 6.

sin δ = sin φ _* cos z _. - cos φ _*sin z _* cos А (4)

cos δ _* sin t = sin z _.* sin А (5)

cos δ _* cos t = cos φ _* cos z _.+ sin φ _* sin z _.* cos А (6)

Из соотношения 4 сразу определяем первую координату звезды - δ -склонение.

sin δ = sin 58⁰,6 _* cos 52⁰,048 - cos 58⁰,6 _*sin 52⁰,048 _* cos 298⁰,5 =

0,854 ∙ 0,615 - 0,521 _* 0,789 _* 0,477 = 0,329

δ = 19⁰,21 = 19⁰13'

Разрешаем следующее уравнение (5) относительно часового угла t:

sin t = sin z _.* sin А: cos δ

sin t = ( sin 52⁰,048 _.* sin 298⁰,5): cos 19⁰,21

sin t = 0,789 _* (- 0,879): 0,944 = - 0,735

t' = - 47⁰,307 = 360⁰ - 49⁰,8 = 312⁰,693; t'' = 227⁰,307

Для того чтобы выбрать то значение, которое удовлетворяет условиям задачи, определим часовой угол t из уравнения (6):

cos t = ( cos φ _* cos z _.+ sin φ _* sin z _.* cos А): cos δ

cos t = ( cos 58⁰,6 _* cos 52⁰,048 + sin 58⁰,6 _* sin 52⁰,048 _* cos 298⁰,5): cos 19⁰,21

cos t = (0,521∙ 0,615 + 0,854 ∙ 0,789 _* 0,477): 0,944 = 0,679

t' = 47⁰,229; t'' = 312⁰,766

Сравнивая полученные значения часовых углов, видим, что одно из значений часового угла (t = 312⁰,766) повторяется (незначительное отличие объясняется округлениями промежуточных результатов). Этот результат и принимаем за правильный ответ: t ≈ 312⁰,7 = (312,7: 15)^h = 20^h,847 = (20^h + 0,847 × 60) ^m ≈ 20^h 51^m

Для дальнейшего решения задачи определяем звездное времени в заданную дату и в заданное время, используя соотношение (16):

S = α_ср + t_ср

Прямое восхождение среднего Солнца мы находили в предыдущей задаче, опираясь на соотношение (17): α_ср = 4^m× n. Напомню, что в данном соотношении n – это число суток, прошедших от даты 21 марта до нашей даты. В нашем случае n = 342.

α_ср = 342 × 4^m = 1368 ^m = 22^h 48 ^m

Часовой угол среднего Солнца в заданный нам момент времени находим, опираясь на соотношение (18).

Т = t_ср + 12^h – λ + 4^h = t_ср + 16^h – λ

Долгота наблюдателя λ = 3^h 19^m

Откуда: t_ср = T + λ - 16^h = 1^h + 3^h 19^m - 16^h = 12^h 19^m

Значит: S = α_ср + t_ср = 22^h 28^m + 12^h 19^m = 34^h47^m = 11^h 7^m

Зная показания звёздных часов и часовой угол звезды, опираясь на соотношение (16), определяем прямое восхождение звезды:

α = S - t = 11^h 7^m - 20^h 51^m = - 9^h 44^m = 24 ^h - 9^h 44^m = 14^h16^m.

Таким образом, правильные ответы на данную задачу будут:

α = 14^h16^m

δ = 19⁰13'

Поиск по сайту: