Примеры решения задач. Пример 1.Решить уравнение

Пример 1. Решить уравнение .

Согласно определению логарифма и требованию к ОДЗ, уравнение равносильно системе

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение .

Преобразуем левую часть уравнения: . Затем к виду . Приравняв выражения под знаком логарифма, получим после преобразований квадратное уравнение с корнями и . При переходе к квадратному уравнению была расширена ОДЗ и, следовательно, среди получившихся корней могут быть посторонние. Отбросить посторонние корни можно двумя способами: найти ОДЗ из системы и установить принадлежность корней ОДЗ, либо сделать проверку получившихся корней. Выбор метода отбора корней зависит от обстоятельств. Если корни небольшие целые числа и проверка их не вызывает затруднений, то лучше делать проверку. В случае, когда корни содержат иррациональности и проверка их неудобна, лучше найти ОДЗ. Бывают и исключения из этих правил. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение .

Уравнение легко сводится к квадратному с корнями . Подстановка таких корней в уравнение неудобна. Проще найти ОДЗ, которая определяется неравенством . Только один из корней с очевидностью этому неравенству удовлетворяет. Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение .

Из определения логарифма следует: . Это уравнение имеет корни . Могут ли быть среди этих корней посторонние? Проверка этих корней неудобна, нахождение ОДЗ также очень затруднительно. Но оба корня удовлетворяют уравнению без проверки и без нахождения ОДЗ. Заметим, что при каждом из корней требования к основанию логарифма выполнены. Выражение под знаком логарифма согласно последнему уравнению равно , и значит при каждом из корней положительно.

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Поскольку , получаем или . Далее или .

Получилось показательное уравнение, которое решается заменой .

, ; корни . Корень не подходит, так как . .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Так как , уравнение принимает вид . Замена сводит его к квадратному уравнению с корнями и . Возвращаемся к исходной переменной: .

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение .

Учитывая, что , перепишем заданное уравнение в виде: . Обозначив , получим

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение .

Данное уравнение равносильно следующему: . Обозначив , получим .

Ответ:

Пример 9. Решить уравнение .

Одним из приемов решения уравнений является их логарифмирование, т.е. переход от уравнения к уравнению . Если на ОДЗ уравнения , то такой переход будет равносильным.

Прологарифмируем уравнение по основанию : . После преобразований получим или . Сделаем замену , тогда . Откуда , . Вернемся к исходной переменной: и .

Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение

Заметим, что , поэтому удобно прологарифмировать уравнение по основанию (или по основанию ). Тогда получим: . Преобразуем уравнение к виду , затем . Обозначив и , после преобразований получим , откуда , . Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем совокупность двух уравнений и . Найти из этих уравнений не составляет труда. Ответ: .

Пример 11. Решить уравнение .

Прологарифмируем уравнение по основанию . Получим уравнение: . После упрощения: . Это уравнение можно решить обычным способом, но можно сэкономить на вычислениях, если заметить, что число является корнем исходного уравнения. Тогда по теореме Виета второй корень равен .

Ответ: .

Поиск по сайту: