АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Интегралов

Читайте также:
  1. Визуализация вычисления определенных интегралов
  2. Вычисление неопределенных интегралов
  3. Вычисление определенных интегралов
  4. Конвертирование и преобразование интегралов
  5. Нахождение пределов, интегралов, производных.
  6. Свойства несобственных интегралов
  7. Тема 7: «Основные свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла»

Приведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло— способ усреднения подынтегральной функции.

Требуется найти оценку I 1 * определенного интеграла

Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f (х) = 1 / (b — а). Тогда математическое ожидание

Отсюда

Заменим математическое ожидание его оценкой—выборочной средней, получим оценку I 1 * искомого интеграла:

где xi— возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f (x) =1/ (b—а), то хi, разыгрывают по формуле (см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда хi=а+ (b—а) ri.

Пример. Наитии: а) оценку I 1 * определенного интеграла б) абсолютную погрешность | I-I 1 * |; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ= 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0,1.

Решение. Используем формулу

По условию a =1, b ==3, φ (х) =х+ 1. Примем для простоты число испытаний n =10. Тогда оценка

Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой.

Таблица 36

Номер испытания i                      
r 1 2r 1 xi= 1 + 2 r 1 0,100 0,200 1.200   0,973 1,946 2,946   0,253 0,506 1,506   0,376 0,752 1.752   0,520 1,040 2,040   0,135 0,270 1,270   0,863 1.726 2,726   0,467 0,934 1,934   0,354 0,708 1.708   0.876 1,752 2,752  
φ (xi)= xi +1 2,200   3,946   2,506   2,752   3,040   2,270   3,726   2,934   2,708   3,752  

 

Сложив числа последней строки таблицы, находим

Искомая оценка интеграла

I 1 * =2·(29,834/10) ==5,967.

б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что

| I- I 1 * |=6—5,967=0,033.

в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ (Х) =Х +1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1,3) распределена равномерно и ее дисперсия D (X) = (3—1)2/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2):

σ 2 =D (X +1)= D (X)=1/3.

г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ =0,1. Из равенства Ф (t)=0,95/2=0,475 по таблице приложения 2 находим t =1,96. Искомое минимальное число испытаний


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)