Дисперсия есептеу формулалары. 25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ”

Мысал.

25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ”. Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы.

Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

Гипотезалар (көмекші оқиғалар):

={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }

-?

Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз.

, , ,

Мысал.

Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.

Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады

4. Тәуелсіз оқиғалар. Мысалдар.

Н ₁ оқиғасының ықтималдығы Р (Н ₁)=, ал оның шартты ықтималдығы Р_А (Н ₁) болca.

Мысал: Сынақ - 36 картадан кездейсоқ біреуін таңдау.

1) таңдалған карта 6-лық болу ықтималдығын табу керек,

2) таңдалған карта қара түсті екені белгілі болса, онда оның 6-лық болу ықтималдығын табу керек.

А={ таңдалған карта 6-лық болуы}

В={ таңдалған карта қара түсті болуы}

Р (А) = Р_В (А), яғни А оқиғасының шартты, шартсыз ықтималдықтары тең болды.

Анықтама: (Ω, F, P)- ықтималдық кеңістік. А және В – оқиғалары беріліп Р(В)>0 болсын. Егер

Р (А) = Р_В (А) болса, онда А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз дейді.

Мысал:А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз болса, онда В оқиғасы А-дан тәуелсіз екенін дәлелдеу керек.

Сонымен, Р_В (А) = P (A) екендігі беріліп тұр. Бұдан, анықтама бойынша Р_В (А) = екендігін ескерсек,=>= Р (B)

Р_А (В)= Р (В) (**)

Бұдан тәуелсіздік ұғымы симметриялы екені шығады.

Р (АВ) = Р (А)∙ Р (В) теңдігіне (*),(**) теңдіктері эквивалентті.

Тәуелділіктің эквиваленттік анықтамасын келесі түрде де беруге болады.

(Ω, F, P)- ықтималдық кеңістік. А және В – оқиғалары берілген. Егер Р (АВ) = Р (А)∙ Р (В) орындалса, онда А, В оқиғалары ӛзара тәуелсіз деп аталады.

5. Бернулли схемасы. Бернулли формулалары. Муавр –Лаплас теоремалары. Пуассон жуықтау формуласы.

Екі қарапайым нәтижесі бар сынақ берілсін, яғни екі элементар оқиғасы бар. Бір элементар оқиғаны «1» арқылы белгілеп, «табыс» деп аталсын. Екінші оқиғаны «0» арқылы белгілеп, «сәтсіздік» деп аталсын. Сонда элементар оқиғалар кеңістігі

Ω={0;1}

P(1)=p (1)

P(0)=q, (0<p<1, q=1-p)

p саны табыс ықтималдығы деп, ал q – сәтсіздік деп аталады. (1) сынағын n рет тәуелсіз қайталау моделі:

ᴒ={ω=(a_1… a_n):a_i=0 немесе 1}

P(ω=(a_1, a_2… a_n))=P(c):..P (a₂):..P(a_n)=p^a₁^+a₂^+…a_n∙q^n-(a₁^+a₂^+…a_n) (2)

(2) моделін Бернулли схемасы деп атайды. Сонымен Бернулли схемасы дегеніміз – екі нәтижелі сынақты n рет тәуелсіз қайталаудың моделі.

Теорема. (Бернулли формулалары). (2) моделіндегі әрбір ω=(элементар оқиғасы үшін болсын(табыстар саны). Онда ω= (a_1… a_n) (3) үшін

(n рет тәуелсіз қайталағанда дәл рет табыс шығуының ықтималдығы) үшін

(n рет тәуелсіз қайталағанда шыққан табыстар саны арасында болуының ықтималдығы)

Мысал.

Тиынды бес рет лақтырғанда үш рет гербтің түсу ықтималдығын табыңыз.

Шешуі. ЕНС моделі – тиынды бір лақтыру

Ω={0;1}

«1» - «герб»

«0» - «цифр»

Қайталау саны n=5

Табыстар саны

Онда (3) бойынша P₅(3)=C³₅∙()³∙ ()⁵= =

Бернулли схемасындағы ең ықтимал табыс саны

Бернулли схемасы үшін тәжірибені n рет қайталған кезде дәл k рет табыс болу (оқиғасы) ықтималдылықтарының жиынтығы биномдық үлестірім (Көлемі n-ге тең таңдамадағы табыс санының биномдық үлестірімі) деп аталады.

Анықтама. k-ның функциясы ретінде ықтималдылығы ең үлкен мәнін қабылдайтын мәні ықтималды табыс саны деп аталады.

Анықтамадан және жоғарыда айтылғандардан мынадай қорытынды шығады: Егер (n+1)p бүтін сан болмаса,онда, мұндағы санының бүтін бөлігі; Егер де (n+1)p бүтін сан болса, онда ең ықтимал табыс саны екеу. және.

Бернуллидің тәуелсіз сынақтар тізбегі үшін:

а)бірде-бір рет табыс болмау;

б) оның математикалық күтімін есептеуге қысқаша формула қорыту

в) оның дисперсиясын есептеуге қысқаша формула қорыту

Р -ның мәні 0-ге не 1-ге мейлінше жуық болмағанда және жағдайда Лаплас формуласының жуық асимптотикалық формула болатынын көрдік. болған жағдайдың ерекше мәні бар. Бұл жағдайда мына теорема орын алады.

Пуассон теоремасы. А оқиғасының әрбір сынауда пайда болу ықтималдығы болса ( -тұрақты және п- нен тәуелсіз), онда өзара тәуелсіз п сынаудан құрылған серияда А оқиғасының дәл т рет пайда болу ықтималдығы

яғни ; мұндағы .

Бұл асимптотикалық формула өте сирек пайда болатын оқиғаларға тән заң. Мұны Пуассон формуласы немесе Пуассон заңы деп атайды.

Муавр-Лапластың теоремасы. Егер әрбір сынауда оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және ол болса, онда сынау саны жағдайда оқиғаның орындалу санының және аралығында болу ықтималдығы

интегралына ұмытылады, яғни

(5)

болады, мұндағы

,

(5) теңдіктің оң жақ бөлігіндегі интеграл элементар функциялар арқылы есептелмейді. Сондықтан мына Лаплас функциясын енгіземіз:

(6)

Бұл функцияның таблицасы кітап соңында беріледі. (2-қосымша). Мұның қасиетін пайдалану арқылы (5) теңдікті ықшам түрде былай жазамыз:

(7)

немесе

(7^/)

Мұны Лапластың интегралдық формуласы дейміз.

Лаплас функциясының мынадай қасиеттері бар.

1. функциясы тақ функция, яғни .

2. функциясы монотонды өспелі, яғни болса, онда болады.

3. х шектеусіз өскенде функциясы 0,5-ке ұмтылады, яғни болады. Сондықтан .

4. қисығы координаталар бас нүктесіне қатысты симметриялы. Мұның екі горизонтал асимптотасы бар, өйткені ; . Ал болғанда .

5. функциясының мәні х- тің аз мәнінде де 0,5-ке жуық, сондықтан мәндерінде есептеудің қажеті жоқ. Таблицада х -тің 5-ке дейінгі мәні келтірілген.

6. Кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен

функциясы. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.

Көптеген жағдайларда белгілі бір тұрақты заңдылықпен кездейсоқ нәтижелі сынақтың әрбір мүмкін болатын қарапайым нәтижесіне сан сәйкес қойылған болады.

Мысалдар: Екі ойын сүйегін лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұпайлардың қосындысын сәйкес қарастыруға болады;

Тиынды бес рет лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге түскен гербтің санын сәйкес қарастыруға болады;

36-дан 5 лото ойынында әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұтыстың көлемін сәйкес қарастыруға болады;

Валюталардың курсын да осылай қарастыруға болады. Қалыптасқан экономикалық жағдайға байланысты валютаның курсы қалыптасады.

Бұл мысалдар келесі анықтамаға алып келеді

Анықтама: -ықтималдық кеңістігі берілсін. аралығы үшін

шартын қанағаттандыратын функциясын кездейсоқ шама дейді.

Ескерту:Кездейсоқ шама терминін сәтті термин деп айтуға болмайды, ол жаңылыс пікір туғызуы мүмкін. Өйткені бұл жерде функция біреу, заңдылық тұрақты, тек қана функцияның аргументі кездейсоқ.

Үлестірім

кездейсоқ шамасының үлестірімі деп

(16.1)

түріндегі ықтималдықтар жиынын айтады. Мұндағы - аралықтар және олардың ақырлы, саналымды бірігулері түріндегі санды жиындар.

Кездейсоқ шамасының үлестірімі оның қай аралықта мән қабылдау ықтималдығы қандай екенін көрсетеді.

Үлестірім функциясы. Қасиеттері

(16.2)

функциясын кездейсоқ шмасының үлестірім функциясы дейді.

(16.1) –ді ескерсек (16.2)-ні былай да жазуға болады:

Қсаиетері:

F1)

F2) үшін болады. Бұдан функциясы кемімейтін функция екені шығады.

F3) әрбір нүктесінде оң жақты үзіліссіз:

F4) ,

Дәлелдеуі:F2):

Бұдан F2) дәлелденеді.

F3) және F4) қасиеттерін дәлелдеу үшін келесі лемма пайдаланылады:

Леммма: -ықтималдық кеңістігі.

1) оқиғалар тізбегі үшін

2) оқиғалар тізбегі үшін

Бұл лемма Р3)- аксиомасынан шығады. Керісінше, бұл леммадан Р3)- аксиомасы щығады. Сондықтан бұл лемма тұжырымын кейде Р3’) деп белгілейді.

Дәлелдеуі:F3):

, (k=1,2,…,n,…)

Олай болса лемма бойынша

.

Дискрет кездейсоқ шама Егер кездейсоқ шамасының мүмкін болатын мәндер жиыны ақырлы немесе саналымды болса, яғни , онда дискрет кездейсоқ шама деп аталады. Дискретті жағдайда дискретті кездейсоқ шаманың үлестірімін білу үшін (17.1’) мына түрдегі ықтималдықты білу жеткілікті. Себебі оларды білсек кез келген В жиыны үшін шамасы табылады.

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама Егер кездейсоқ шамасының үлестірімі қандайда да бір (17.1”) функциясы арқылы кез келген В борель жиыны үшін (17.2”) түрінде берілетін болса, онда абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама дейді, ал оның тығыздығы.

Үлестірім қасиеттері

,

бұдан екекні шығады.

7. Кездейсоқ шаманың математикалық күтімі мен дисперсиясы.

Қасиеттері.

Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

Анықтама: дискрет кездейсоқ шама беріліп,

- мәндер жиыны,

, - үлестірімі белгілі болсын. Егер

(24.1)

шарты орындалса, онда кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп

(24.2)

санын айтады.

Қасиеттері: (Математикалық күтім)

- ықтималдық кеңістікте кездейсоқ шамалары беріліп, олардың ақырлы математикалық күтімдері бар болсын.

М1) ,

М2) Сызықты қасиеті

М3) Егер кездейсоқ шама болса, ол дегеніміз

, онда

М4)

М5) Егер өзара тәуелсіз болса, онда

М6)

М7) Коши- Буряковский теңсіздігі

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама берілсін.

- оның тығыздығы болсын

Егер

болса, онда кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық күтімі бар дейді және оның математикалық күтімі деп

санын айтады.

Дискрет жағдайда дәлелдеген М1)- М7) қасиеттерінің барлығы абсолют үзіліссіз сақталады. Оны дискрет жағдайда пайдаланып, шекке көшу арқылы дәлелдеуге болады.

Кездейсоқ шаманың дисперсиясы

кездейсоқ шама берілсін. Оның дисперсиясы деп

санын айтады. Дисперсияның практикалық мағынасы мынада: кездейсоқ шама мәнінің оның орташа мәнінен ауытқуларының квадраттарының орташасын көрсетеді

Дисперсия үлкен сан болса, бұл кездейсоқ шама мәнінің оның орташа мәнінен алшақ жатқан мәндері жиі кездеседі деген сөз.

Қасиеттері:

D1) Егер кездейсоқ шамасы тұрақты (ерекше) болса, онда .

Ал жалпы жағдайда .

D2)

D3)

D4) Егер өзара тәуелсіз болса, онда

Дисперсия есептеу формулалары

I. Дискрет жағдайда

Егер D2)-ні ескерсек, бұған қоса мына формула бар:

II. Абсолют үзілісіз жағдайда

немесе

8. Ковариация. Корреляция коэффициенті. Қасиеттері.

- да кедейсоқ шамалары берілген. Олардың ортақ үлестірімі белгілі болсын. мен кедейсоқ шамаларының ковариациясы деп

санын айтамыз.

Қасиеттері:

С1)

С2)

С3)

С4) Егер мен тәуелсіз болса, онда

С5) және бұл жерде теңдік орындалу үшін , функциялары сызықты тәуелді болуы қажет және жеткілікті.

Поиск по сайту: