Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках

Для нахождения зависимости ε от частоты (закона дисперсии) необходимо решить задачу о взаимодействии электромагнитной волны с имеющимися в среде зарядами. Диэлектрики условно разделяются на два типа – неполярные и полярные. В молекулах неполярных диэлектриков заряды электронов точно компенсируют заряды ядер. В этом случае в отсутствие электромагнитного поля молекулы не обладают дипольным моментом. Под действием поля волны происходит смещение электронов (ионы при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса велика по сравнению с массой электронов) и каждая молекула поляризуется – приобретает дипольный момент p = e r. Если диэлектрик однороден и в единице объёма содержится N одинаковых молекул, то вектор объёмной плотности поляризации равен P = N p. Для определения вектора Р необходимо решить уравнения движения электронов в молекуле под действием поля волны и найти смещение электронов как функцию поля. В классической теории дисперсии молекула представляется в виде одного или нескольких линейных гармонических осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям электронов в молекуле. Рассмотрим уравнение движения одного такого осциллятора:

. (1)

Здесь m – эффективная масса; ν - константа, учитывающая затухание колебаний, например, вследствие процессов излучения; ω₀ - резонансная угловая частота нормального колебания; E _d(t) - поле, действующее на диполь. Действующее поле в однородном изотропном диэлектрике отличается от среднего макроскопического поля в среде и равно:

.

При гармонической зависимости от времени поля Е, из уравнения (1) получим следующее соотношение:

.

Отсюда удобно выразить Р:

. (2)

Учитывая, что D = ε E = E + 4π P, из (2) найдем

.

Отделяя в (3) действительную и мнимую части, получим

, (3)

где .

В случае низких частот, удовлетворяющих условию , придём к выражению для статической диэлектрической проницаемости:

.

Для твёрдых диэлектриков ε (0) может значительно превышать единицу. В газах плотность поляризованных молекул обычно невелика. При этом и можно считать, что ε мало отличается от единицы. Поэтому

.

Отсюда для показателей преломления и поглощения получим:

. (4)

Выясним, как зависят эти параметры от частоты. Если выполняется условие , т.е. частота волны далека от резонансной, то

- показатель преломления мало отличается от единицы. При и функция увеличивается с ростом частоты. При , но функция также увеличивается с ростом частоты, приближаясь к 0. Показатель поглощения в этом диапазоне частот мал. Вблизи резонанса показатель преломления уменьшается с ростом частоты. При условии точного резонанса, когда , величина n обращается в единицу, а показатель поглощения принимает максимальное значение (рис.). Область частот, в которой показатель преломления убывает с увеличением частоты, называется областью аномальной дисперсии; здесь имеет место возрастание фазовой скорости.

Мы рассмотрели модель, дающую закон дисперсии для диэлектриков, молекулы которых приобретают дипольный момент только во внешнем поле. Но молекулы полярных диэлектриков (например, воды) обладают дипольным моментом и в отсутствие поля. Механизм поляризации такого диэлектрика сводится к ориентирующему действию поля волны. Для таких диэлектриков:

где ε(0) – статическая диэлектрическая проницаемость, τ - время релаксации – время переориентации диполей. Функция ε", а значит и потери энергии, имеют максимум при ωτ=1. В парах воды τ ≈ 10^-11 с, поэтому “резонансное поглощение” возможно только в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн.

Остановимся более подробно на анализе практически важной зависимости ε(ω) для воздуха, представляющего собой смесь молекул газов (азота, кислорода и т.д.) и паров воды. При ωτ<<1 дисперсия для паров воды несущественна. Поэтому при распространении волн сантиметрового диапазона и более длинных в тропосфере можно пользоваться формулой:

.

Здесь мы считали, что поле в среде равно полю волны, и пренебрегли соударениями. Собственные частоты молекул газов ω ² _i0, входящих в состав воздуха, лежат в области > 15∙ГГц. Поэтому для волн с λ>3 см дисперсии почти нет. Однако в оптическом и миллиметровом диапазонах имеются области резонансного поглощения волн. Поэтому для целей радиосвязи в тропосфере в этих диапазонах необходимо выбирать “окна прозрачности”, т.е. пользоваться частотами, не совпадающими с собственными частотами среды.

Поиск по сайту: