Спектральный анализ

Данный параграф напрямую к теории волн отношения не имеет, но напоминание основных положений спектрального анализа представляется весьма целесообразным для понимания последующего материала. Периодическая функция времени F(t + T)=F(t), где Т – период, может быть представлена в виде разложения в ряд по гармоническим функциям:

. (10)

Здесь ω=2π/T. Формула (10) называется прямым преобразованием Фурье. Коэффициенты A_n и B_n, по сути дела, являются функциями от своих индексов и определяются формулами обратного преобразования Фурье:

(11)

Величина a может быть выбрана произвольно. Обратное преобразование Фурье вытекает из свойств ортогональности тригонометрических функций. Пусть, например, функция F(t)=sin(ωt). Ее период T=2π/ω. Выберем для a значение 0. Для B_n имеем:

. (12)

Функция синуса ортогональна функции косинуса для любых n. Таким образом, все коэффициенты В_n равны нулю.

Для A_n имеем:

. (13)

Здесь ненулевое значение (снова в силу ортогональности) будет иметь только коэффициент A₁=1. Таким образом, как и должно было быть, в ряде (10) остается один единственный член – спектр сигнала состоит из единственной линии. Поскольку физически спектр показывает вклад в сигнал различных гармоник, сигнал, представляющий собой синусоиду, только ее и содержит. При переходе от периодической функции к непериодической, последнюю можно формально рассматривать все же как периодическую, но с бесконечно большим периодом T→∞. При этом, формально, ω→0. Интуитивно понятно, что от дискретного ряда в суммах типа (10) следует перейти к интегралу:

. (14)

Теперь формула прямого преобразования Фурье для непериодической функции будет выглядеть следующим образом:

. (15)

Обратное преобразование Фурье позволяет найти функции A(ω) и B(ω):

(16)

Разложение непериодической функции в спектр принято иллюстрировать примером прямоугольного импульса единичной амплитуды, длительностью δt. Допустим, импульс появился в момент времени t₁. Тогда график процесса будет иметь вид, показанный на рис.

Функция, описывающая прямоугольный импульс, будет задаваться так, что F(t)=1 при t₁≤t≤t₁+δt и F(t)=0 в остальные моменты времени. Для упрощения рассмотрения перенесем начало отсчета времени в точку t₁+δt/2. Тогда пределы интегрирования в (16), определяемые областью, где F(t) не равна нулю, будут составлять – δt/2 и + δt/2. Функция A(ω) задается интегралом:

. (17)

В силу нечетности функции синуса и симметричности относительно нуля пределов интегрирования последний интеграл равен нулю. Для функции B(ω) будем иметь следующее:

. (18)

Таким образом, спектр прямоугольного импульса содержит непрерывное распределение по всем частотам с функциями косинуса. График функции P(x)=sin(x)/x показан на рис.

В волновой физике наряду с прямоугольным импульсом в качестве модели сигнала широко используется так называемый гауссов импульс:

. (19)

Величина Δt задает характерную ширину (длительность) импульса. График функции (19) при Δt=1 показан на рис.

Обратные преобразования Фурье в данном случае дают:

. (20)

Как и в предыдущем примере, в силу нечетности функции синуса последнее выражение равно нулю A(ω)=0.

. (21)

Интеграл в (21) является табличным, и мы окончательно имеем:

. (22)

Здесь мы снова получили гауссову функцию, но уже от частоты ω. Собственно, гауссовский импульс тем и «знаменит», что он имеет гауссовский же спектр. Особо необходимо обратить внимание на то, что длительность сигнала во времени Δt и частотная ширина спектра обратно пропорциональны друг другу. Анализ спектра прямоугольного импульса приведет нас к такому же выводу. Правило является универсальным вне зависимости от формы импульса – чем короче импульс, тем шире его спектр и наоборот.

В данном разделе мы воспользовались разложением функции в ряды или интегралы как по синусам, так и по косинусам – разложения по квадратурным компонентам. Без особого труда можно было бы провести разложение, например, только по косинусам, внеся в аргумент тригонометрической функции фазу, зависящую от частоты. Тогда в формуле:

(23)

амплитуда , где А и В определяются соотношениями (16). Эта функция называется амплитудно-частотной характеристикой сигнала (АЧХ). Фаза называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ). Широко используется и комплексная форма спектрального анализа сигналов, в которой разложение представляется в виде:

. (24)

В этом случае квадратурные компоненты или амплитудные и фазовые характеристики должны быть получены из модуля и аргумента комплексной функции С(ω).

Поиск по сайту: