Поперечные волны в струне

Рассмотрим следующую модель. Имеется натянутая струна, закрепленная на концах и ориентированная в равновесном состоянии вдоль оси x двухмерной декартовой системы координат. В начальный момент времени некоторый участок струны имеет малое поперечное (вдоль оси y) отклонение от равновесного положения. Необходимо дать математическое описание динамики струны. Геометрия задачи изображена на рис. 1.1. Здесь, в существенно увеличенном по оси y масштабе, представлен отклоненный участок струны.

Рис. 1.1. К выводу уравнения волн в струне

На участке струны рассмотрим две близко расположенные точки М и М’, горизонтальные координаты которых разнесены на малое расстояние Δx. Проанализируем вертикальное движение участка струны ММ’, массу которого обозначим через m. Вертикальное ускорение этого участка обусловлено действием вертикальной силы. Если струна растянута с силой Т, в любой точке струны, действующей по касательной к струне, то, как можно видеть из рисунка, результирующая вертикальная сила равна разности y -проекций сил, приложенных к точкам М и М’. Поскольку модуль силы натяжения вдоль всей струны постоянен, действующая вертикальная составляющая силы натяжения может быть представлена в виде:

. (1.1)

Кроме того, учтем силу трения, действующую на элемент струны. Будем считать, что сопротивление трения пропорционально длине участка, пропорционально скорости и направлено против скорости. Если коэффициент пропорциональности равен a, то вертикальная сила трения будет записана следующим образом:

. (1.2)

Введем величину линейной плотности струны – массу, отнесенную к единице длины .

Уравнение вертикального движения участка (второй закон Ньютона) струны после элементарных преобразований можно записать в форме:

. (1.3)

Теперь воспользуемся тем, что отклонения струны от равновесного положения малы. При этом углы α и α’ также малы, а для малых углов

,¶ (1.4)

– по определению тангенс угла наклона касательной к кривой равен производной функции. Тогда уравнение (1.3) можно записать в виде:

(1.5)

Разность в скобках в первом слагаемом правой части (1.5) есть не что иное, как приращение производной при переходе от точки М к точке М’. Переходя к пределу Δx → 0, в этом слагаемом будем иметь вторую производную от y по x. Таким образом:

. (1.6)

Поиск по сайту: