Звуковые волны в газах

Рассмотрим постоянную массу газа, которая при давлении Р₀ занимает объем Vо, имея плотность ρ₀. Эти величины характеризуют равновесное состояние газа, которое нарушается, или возмущается, сжатиями и разрежениями звуковых волн. Под действием звуковых волн

давление Р₀ становится равным Р = Р₀ +p

объем V₀ становится равным V = V₀ + v,

плотность ρ₀ становится равной ρ = ρ₀ + ρ_d.

Избыточное давление p равно амплитуде давления звуковой волны, которое, будучи переменной компонентой, накладывается на равновесное давление газа Р₀.

Относительное изменение объема v/V = δ называется разрежением, а относительное изменение плотности ρ_d /ρ₀=s называется уплотнением. Для обычных звуковых волн величины δ и s равны приблизительно 10^-3, а давление р = 2 ·10^-5Н/м2 (порядка 10^-10 атмосферного) создает звуковую волну, еще слышимую на частоте 1 кГц. Таким образом, изменения в среде, вызываемые звуковыми волнами, чрезвычайно малы по порядку величины и соответствуют ограничениям, при которых применимо волновое уравнение.

Постоянная масса газа равна произведению

ρ₀V₀= ρV= ρ₀V₀(1+δ)(1+s)

отсюда (1+δ)(1+s)=1 и в линейном приближении получаем δ = -s. Упругость газа, или его сжимаемость, характеризуется модулем всестороннего сжатия

,

равным отношению изменения давления к относительному изменению объема. Поскольку увеличение объема происходит при уменьшении давления, в правой части формулы стоит знак минус.

Величина В зависит от того, являются ли изменения в газе, обусловленные волновым движением, адиабатическими или изотермическими. Они должны быть термодинамически обратимыми для того, чтобы исключить энергетические потери, связанные с диффузией, вязкостью и теплопроводностью. Если такие случайные процессы, приводящие к увеличению энтропии, полностью отсутствуют, то мы имеем адиабатический процесс — термодинамический цикл с к. п. д. 100% в том смысле, что не

теряется ни потенциальная, ни кинетическая энергия волны. В случае звуковой волны в силу таких термодинамических соображений ограничивается амплитуда избыточного давления. При очень большой амплитуде будет сильно повышаться локальная температура газа в области пика давления и энергия будет уходить из волновой системы за счет теплопроводности. Будут также возникать локальные градиенты скорости частиц, приводящие к диффузии и потерям энергии за счет вязкости. Взяв постоянное значение адиабатического модуля всестороннего сжатия, мы ограничили амплитуду колебаний в звуковой волне малыми значениями, поскольку полное давление Р = P₀+p считается постоянным.

Все адиабатические изменения в газе подчиняются соотношению PV^γ = const, где γ- отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Дифференцируя это соотношение, получаем

V^γ dP + γPV^(γ-1) dV = 0,

или

-V(dP/dV)= γP=B _a (индекс а означает адиабатический процесс).

Следовательно, упругость газа характеризуется величиной γР, которую мы считаем постоянной. Поскольку Р = Р₀ + р, можно написать dP = p, где р — избыточное давление, и

B _a = - p/(v/V₀) или p= - B _a δ= B _a s.

Предположим, что в звуковой волне смещения и скорости частиц направлены по оси х. Смещение мы будем характеризовать координатой η. При выводе волнового уравнения мы рассмотрим движение элемента газа, имеющего бесконечно малую толщину dx и единичное поперечное сечение. Движение этого элемента под действием звуковой волны показано на рисунке.

Тонкий элемент газа с единичным поперечным сечением и толщиной dx, который под действием разности давлений -(dPx/dx)dx смещается на расстояние η и расширяется на величину (dη/dх).

Частицы в слое х смещаются на расстояние η, а частицы в слое х+dx смещаются на расстояние η+dη поэтому увеличение толщины, которым, очевидно, определяется увеличение объема элемента dx, имеющего единичное поперечное сечение, равно

и

величина называется деформацией.

Среда деформируется, потому что давления вдоль оси х с обеих сторон тонкого элемента не компенсируют друг друга. Полная сила, действующая на элемент, такова:

.

Ускорение элемента, имеющего массу ρ₀dx, в хорошем приближении равно . Поэтому, согласно закону Ньютона,

где .

Отсюда следует, что

.

Но есть отношение упругости к плотности являющейся мерой инерции среды и

, с – скорость звуковой волны, и следовательно мы получаем волновое уравнение

.

Аналогичное уравнение можно получить при использовании гидродинамического подхода – уравнений Эйлера, непрерывности и состояния вещества.

Поиск по сайту: