Генерация гармоник

Напряженность электрического поля волны, распространяющейся в среде, создает в точках среды поляризацию, распространяющуюся в пространстве в виде волны поляризации. В каждой точке среды изменяющаяся поляризация порождает вторичную электромагнитную волну, которая складывается с волной, породившей поляризацию. Суммарная волна сама является источником поляризации, которая, в свою очередь, порождает электромагнитную волну, вызывающую поляризацию, и так до бесконечности. Другими словами, волна поляризации и электромагнитная волна взаимно обуславливают друг друга.

Уравнение электромагнитной волны, учитывающее эту связь, получается из уравнений Максвелла (в отсутствии источников , ) и имеет вид

.

(1)

Уравнение (1) описывает распространение электромагнитной волны с учетом ее связи с поляризацией. При учете только линейной поляризации уравнение (1) является линейным. В этом случае взаимообусловленность волны поляризации и электромагнитной волны приводит к изменению скорости распространения электромагнитной волны, в результате чего волна поляризации и электромагнитная волна распространяются с одной и той же фазовой скоростью в одинаковой фазе. Если, например, электромагнитная волна распространяется в направлении положительных значений оси z, то и волна поляризации распространяется в том же направлении с той же фазовой скоростью с / n(w). Эти волны могут быть представлены в виде

, .

(2)

В каждой точке среды в результате изменения поляризации порождается электромагнитная волна, амплитуда которой пропорциональна (2). Вторичные волны, возбуждаемые поляризацией в точках z’ и z’’ и затем распространяющиеся в направлении положительных значений z, записываются в виде

	(3)
	(4)

Т.к. выражения в квадратных скобках равны, то обе волны, возникающие в различных точках, приходят в точку z в одной фазе и взаимно усиливаются. Именно это обстоятельство и обуславливает возможность распространения электромагнитной волны в среде и ее скорость. Можно сказать, что вторичные волны в линейной среде, излученные в различных точках, синхронны между собой.

Теперь обратимся к волнам нелинейной поляризации. Нелинейная квадратичная поляризация содержит все возможные комбинационные частоты первичных электромагнитных волн. Следовательно, порождаемые ею вторичные волны имеют те же самые всевозможные комбинационные частоты и распространяются с различными скоростями в соответствии с законом дисперсии.

Суперпозиция волн различных частот не представляет интереса, поскольку она не приводит к интерференции. Интерференция может происходить лишь между волнами одной и той же частоты, излученными в различных точках среды. Если в результате интерференции волны усиливаются, то можно говорить о существовании волны соответствующей частоты в среде, т.е. о генерации новой частоты, как о нелинейном эффекте распространения волн в среде. Если же такого усиления нет, то никакой генерации новой частоты не наблюдается, хотя в каждой точке среды эти частоты генерируются. Рассмотрим условия, при которых происходит генерация волн с частотами, отличающимися от частоты первичной электромагнитной волны. Они называются условиями пространственного синхронизма.

Запишем в явном виде волны поляризации, порожденные квадратичной нелинейностью поляризации. Если имеются две первичные электромагнитные волны с частотами w₁ и w₂

, ,

(5)

то порождаемая ими волна квадратичной поляризации представляется так:

(6)

где волны взяты в действительном виде, а коэффициент 2а описывает восприимчивость второго порядка и может быть вычислен из формулы (22) предыдущего параграфа. Учитывая тригонометрические соотношения

представим (6) в виде

,

(7)

где

;
; ; ;
.

Таким образом, две электромагнитные гармонические волны порождают при наличии квадратичной нелинейности четыре волны поляризации с частотами 2w ₁, 2w ₂, w ₁ + w ₂, w ₁ - w ₂ и статическую поляризацию Р₀. Возникновение статической поляризации называется оптическим детектированием по аналогии детектирования радиосигналов.

Вывод условий пространственного синхронизма проиллюстрируем на примере удвоения частоты w₁. Для удвоения частоты достаточно, чтобы в среде распространялась лишь одна волна с частотой w₁, а волна с частотой w₂ может и отсутствовать. Волна с удвоенной частотой 2w₁ может быть представлена в виде

(8)

где n( w ₁) / c = k₁/ w ₁, n( w ₁) показатель преломления волны с частотой w ₁. Порождаемые волной поляризации (8) в точках z’ и z” электромагнитные волны аналогично (3) и (4) описываются формулами

,	(9)
.	(10)

Здесь учтено, что после возникновения этих волн в точках z’ и z” они распространяются со скоростью c/n (2 w₁), отличной от скорости волн поляризованности c/n (w₁). Учтем, что

и представим (9), (10) в виде

,	(12)
.	(13)

Сравнивая (12) и (13) видим, что вторичные волны приходят в точку z в одинаковой фазе и усиливают друг друга лишь в том случае, если

Условие (14) называется условием пространственного синхронизма для удвоения частоты.

Разность фаз в точке z между волнами, описываемыми формулами (12) и (13), равна

расстояние между точками z’ и z”, в которых эти волны были возбуждены. Ясно, что при Dj = 0 в результате интерференции модуль амплитуды суммарной волны имеет максимальное значение, равное сумме модулей амплитуд интерферирующих волн. При увеличении Dj модуль амплитуды суммарной волны уменьшается и обращается в нуль при Dj = p. Следовательно, вторичные волны, генерированные на пути l_к, удовлетворяющем в соответствии с (15) условию

дают в результате суперпозиции волну с отличной от нуля амплитудой. Из (17) следует, что

где w₁ / c = 2 p / l, l_к – длина когерентности (характеризует расстояние, на котором разность фаз вторичных волн изменяется меньше чем на p). Из (15) ясно, что амплитуда суммарной вторичной электромагнитной волны по мере распространения в среде изменяется периодически. Найдем закон этого изменения. Если первичная волна входит в среду в точке z = 0, то напряженность суммарной вторичной волны в точке z внутри среды равна сумме напряженностей вторичных волн, генерируемых на пути от 0 до z. Напряженность от излучателей между z’ и z’ + dz’ на основании (12) дается выражением

.

(19)

Отсюда следует, что напряженность вторичной электромагнитной волны в точке z равна:

.

В результате интегрирования получаем

.

(20)

Здесь учтено что n (w₁) = n (2w₁) + D n. Воспользовавшись тригонометрической формулой для разности синусов, находим

.

(21)

Эта формула показывает, что вторичная электромагнитная волна имеет удвоенную частоту и изменяющуюся амплитуду. Изменение амплитуды волны по мере распространения описывается функцией

.

(22)

На пути D z после входа волы в среду при условии

амплитуда увеличивается, поскольку значение соs в (22) увеличивается от нуля до единицы. Путь, при прохождении которого амплитуда достигает максимального значения дается выражением

т.е. равен длине когерентности. Следовательно, если для генерации удвоенной частоты добиться соблюдения условия пространственного синхронизма не удается, можно попытаться ее генерировать при прохождении излучения большей мощности через пластину толщиной, равной длине когерентности. Как показывает опыт, при достаточно большой мощности излучения на выходе из пластины наблюдается удвоенная частота. Интенсивность генерации удвоенной частоты очень слабая, поскольку нелинейность среды мала. Для увеличения интенсивности излучения необходимо увеличивать длину когерентности, уменьшая D n. В пределе (D n ®0) длина когерентности l_к ® ¥, что означает реализацию условия пространственного синхронизма. Значение D n фиксировано свойствами среды и не может уменьшаться произвольно.

Однако можно подобрать условия в анизотропных средах, при которых D n =0. Для этого нужно использовать разность показателей преломления обыкновенной и необыкновенной волн. Условие синхронизма в одноосном кристале будет n_о (w) = n_е (2w), это справедливо для отрицательного кристалла (v_e > v_o). В положительных кристаллах будет иначе (v_e < v_o) n_e (w) = n_o (2w).

В нелинейной поляризации третьего порядка присутствуют члены с утроенной частотой 3w падающего излучения. Совершенно аналогично рассмотренному случаю это приводит к генерации третьей гармоники. Можно также генерировать четвертую и т.д. Это требует совершенствования экспериментальных возможностей, но в принципиальном отношении не содержит в себе новых физических явлений.

Поиск по сайту: