Приближение геометрической оптики

В оптике часто принято оперировать понятиями - траектория волны, лучь. Эти понятия кажутся совершенно естественными, но отметим, что волновая физика рассматривает и такие явления, которые не могут быть описаны с помощью «лучей» например дифракция волн. Отметим, что дифракция и геометрическая оптика – суть два противоположных подхода к описанию волновых явлений.

В приближении геометрической оптики предполагается, что волна распространяется вдоль некоторой линии – луча или траектории. Метод геометрической оптики позволяет приближенно рассчитать траекторию распространения в пространстве и найти распределение вдоль луча амплитуды и фазы волны. Подчеркнем, что речь идет именно о некотором приближении, которое справедливо только в определенных условиях. Будем исходить из волнового уравнения для неоднородной среды (неоднородная среда –среда у которой характеристики зависят от координат, например ):

. (1)

где фазовая скорость v считается зависящей от координат. Считая, что временная зависимость в волне гармоническая, из волнового уравнения (1) получим уравнение Гельмгольца:

. (2)

Далее будем рассматривать электромагнитные волны в среде, хотя приближение геометрической оптики может быть применено к любому типу волн. Поскольку для электромагнитных волн v = с/n, и (с - скорость света в вакууме), уравнение Гельмгольца можно представить в виде:

. (3)

В однородной среде, где показатель преломления не зависит от координат, решение последнего уравнения может быть представлено в виде плоской волны , где U₀ и k=ω/c – постоянные величины. В неоднородной среде, по аналогии, попробуем искать решение уравнения (3) в виде:

. (4)

Итак, амплитуду будем считать функцией от координат, а в фазовом множителе вместо r записываем некоторую функцию координат ψ, называемую эйконалом. Подстановка (4) в уравнение Гельмгольца приведет нас к уравнению:

. (5)

Амплитуду будем считать медленно меняющейся функцией координат в том смысле, что на длине волны λ=ω/c величина U₀ изменяется несущественно. Значительные изменения амплитуда претерпевает на масштабе L, на котором существенно меняются свойства среды. В однородной среде эйконал представляет собой просто координату так, что градиент эйконала – постоянная величина. В приближении геометрической оптики для неоднородной среды градиент эйконала также считается слабо меняющейся функцией координат, то есть характерный масштаб изменений градиента эйконала также составляет L. Основным условием применимости приближения геометрической оптики является условие слабой неоднородности L>>λ. Свойства среды распространения волн должны мало изменяться на длине волны. Тогда справедливы следующие оценки по порядку величины пространственных производных амплитуды и градиента эйконала:

, , . (6)

Умножим уравнение (5) на

. (7)

С учетом оценок (6) можно видеть, что в последнем уравнении первое слагаемое имеет второй порядок малости по величине λ/L, два следующих слагаемых – величины первого порядка малости, а последний член имеет нулевой порядок малости. Тогда первое слагаемое вообще не рассматривается, а члены первого и второго порядка по отдельности приравниваются к нулю, откуда получаем два уравнения:

. (8)

. (9)

Из (8) следует важнейшее соотношение приближения геометрической оптики, называемое уравнением эйконала:

. (10)

Уравнение (9) перепишем следующим образом:

. (11)

Последнее дифференциальное уравнение легко интегрируется, в результате чего получается решение . В правой части стоит произвольная постоянная интегрирования. С учетом выражения для градиента эйконала (10) получаем окончательное выражение для амплитуды:

. (12)

В любой точке траектории амплитуда волны обратно пропорциональна корню четвертой степени из диэлектрической проницаемости или квадратному корню из показателя преломления. Константа может определяться, например, из значения амплитуды в начале траектории. Уравнение эйконала представим в виде:

. (13)

В прямоугольной декартовой системе координат это уравнение будет выглядеть следующим образом:

. (14)

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, относящееся к классу уравнений Гамильтона–Якоби, имеющих общий вид:

. (15)

Функция H, как известно, называется гамильтонианом и может быть произвольной функцией своих аргументов. Вектор q является вектором обобщенных координат, а вектор – вектор обобщенного импульса.

Уравнение (15) решается методом характеристик – приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

. (16)

Здесь τ – параметр. В нашем случае уравнение эйконала имеет вид:

. (17)

Удобно выбрать гамильтониан в форме . Теперь система (16) в развернутом виде

(18)

преобразуется в следующие уравнения:

(19)

Поставив начальные условия и решив последнюю систему, мы можем найти траекторию q (τ), заданную в параметрическом виде, фазу , также заданную как функцию от параметра. Наконец, по формуле (12) может быть найдена и амплитуда в любой точке траектории.

Применим рассмотренное приближение к так называемому линейному слою. Пусть в плоскости xOy диэлектрическая проницаемость меняется с высотой y по линейному закону так, что на уровне y=0 она равна 1, а на уровне y=L обращается в 0. Аналитическое представление такого слоя дается формулой:

. (20)

Волна (в нашей терминологии – луч) испускается под углом φ₀ к оси Ох из начала координат, как это показано на рис.

Система (19) для данной модели будет выглядеть следующим образом:

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

. (25)

Можно показать, что величины p_x и p_y имеют смысл косинуса и синуса угла наклона касательной к траектории, соответственно. Из (22) следует, что величина p_x постоянна, а следовательно, равна начальному значению p_x=cos(φ₀). Тогда из (21) имеем ∂x/∂τ=cos(φ₀). Решение этого простейшего уравнения:

. (26)

Здесь учтено, что в начале траектории при τ=0 координата x также равна нулю. Решение уравнения (24) также простое p_у=sin(φ₀)-τ/2L. Здесь также учтено начальное условие p_у=sin(φ₀) при τ=0. Теперь уравнение (23) запишется в форме ∂y/∂τ=p_y=sin(φ₀)-τ/2L. Его решением с учетом начальных условий будет функция:

. (27)

Наконец, уравнение (25), которое с учетом полученных выше решений имеет вид , дает решение:

. (28)

где ψ₀ – начальное значение эйконала. С учетом того, что, согласно (12), для амплитуды имеем значение , можно считать задачу о распространении волны в линейном слое решенной. Из (26) и (27) можно исключить параметр τ и получить траектории не в параметрическом, а в явном виде, то есть как функцию y (x). Не станем выполнять эту простейшую процедуру, а укажем только, что в линейном слое траектория представляет собой параболу, как это и показано на рис. Волна распространяется до некоторой максимальной высоты, а затем поворачивает вниз.

Рассмотрим особый случай, когда волна испускается вертикально вверх, то есть при φ₀= π/2. При этом и . Волна, распространяясь вертикально, достигает максимальной высоты y = L, где показатель преломления обращается в ноль, отражается и распространяется вниз. В приближении геометрической оптики получается, что амплитуда поля в точке отражения обращается в бесконечность. Физически это, естественно, невозможно, но, в точке отражения и само приближение перестает работать. Как мы видели выше, условие применимости приближения заключается в малости изменения, в том числе амплитуды на длине волны. При подходе к точке отражения амплитуда в наших расчетах возрастает сколь угодно быстро. Таким образом, вблизи точки, где n→0 геометрооптическое решение перестает быть верным.

Поиск по сайту: