Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и H-моды

В линиях с двух- или многосвязным сечением кроме поперечных волн могут распространяться также волны с продольными составляющими поля, если частота превосходит некоторое критическое значение. Электромагнитное поле в волноводе удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла

, .

Исключая поочередно электрическое и магнитное поля, можно перейти к уравнениям Гельмгольца для каждого из полей:

Так как E_z и H_z декартовы составляющие, то для них уравнения Гельмгольца дают

где - лапласиан, действующий лишь на поперечные координаты. Уравнения можно решать разделением переменных:

Подставляя и разделяя переменные, получаем

где γ - постоянная разделения.

Из этих уравнений следует, что зависимость поля от z экспоненциальна: . При этом , так как в случае равенства поперечное поле должно быть статическим, как это следует из полученных уравнений. Кроме уравнений Максвелла, поля удовлетворяют граничным условиям, которые для идеально проводящих стенок имеют вид

где E_t - тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности металла, H_n - нормальная составляющая магнитного поля на этой поверхности.

Найдем решения уравнений Максвелла. Для этого запишем их для декартовых составляющих векторов поля, учитывая экспоненциальную зависимость их от z

Записанные уравнения позволяют выразить поперечные компоненты E_x, E_y, H_x, H_y через продольные E_z, H_z. Для этого подставим в первое уравнение E_y, взятое из пятого. Тогда получим

или (обозначая )

.

Аналогично получим

Составляющие E_z и H_z должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца

или, учитывая, что , получаем

Данные уравнения могут быть получены и непосредственно из третьего и шестого из написанных выше уравнений, если подставить в них E_x, E_y, H_x и H_y. Введем следующие обозначения:

где φ(x, y), ψ(x,y) некоторые скалярные функции поперечных переменных. Эти функции должны, очевидно, удовлетворять уравнениям

или обозначая

Составляющие полей выражаются через функции φ(x, y) и ψ(x,y)

Нетрудно проверить, что эти соотношения могут быть записаны в виде

где z ₀ - единичный вектор в направлении оси z.

Действительно, если исходить из известных векторных тождеств

можно получить

Подставляя эти выражения, получаем

Данные соотношения, если их записать в декартовых составляющих, приводятся к полученным выше. Векторы - это векторы Герца. Таким образом, векторы поля выражаются через электрический и магнитный векторы Герца, имеющие в данном случае только продольные (z) составляющие. Найдем граничные условия на поверхности для потенциальных функций φ и ψ. Для этого необходимо выразить тангенциальную компоненту электрического поля E_t и нормальную магнитного поля H_n на поверхности через φ и ψ. Тангенциальную компоненту E_t можно разложить на составляющую в направлении оси z и составляющую, лежащую в плоскости сечения, т.е. касательную к контуру поперечного сечения. Обе составляющие должны быть равны нулю. Из равенства E_z = 0 на поверхности получаем φ=0 на контуре сечения C.

Чтобы найти касательную к контуру сечения составляющую E_s введем в произвольной точке контура два орта s, n причем n направлен внутрь волновода (рис. 1). Тогда по аналогии с выражением для E_y (отождествляя направление y с s, а направление x с n

Так как φ=0 на C, то для того чтобы E_s = 0, необходимо и достаточно, чтобы ∂ψ/∂n = 0 на контуре C. Покажем, что эти условия обеспечивают также равенство H_n = 0 на C. Для этого запишем выражение для H_n по аналогии с выражением для H_x:

Итак, граничные условия для функций φ и ψ имеют вид

а сами функции удовлетворяют уравнениям

Задача распадается на две: отдельно для φ и ψ. В итоге имеем две системы решений. Для одной поле выражается только через функцию φ, при этом отлична от нуля z-компонента электрического поля, для другой поле выражается через ψ-функцию, отлична от нуля z-компонента магнитного поля.

Известно, что такие задачи имеют нетривиальные решения при определенных значениях g² - собственных значениях задачи. В общем случае эти значения различны для φ и ψ функций. Функции φ и ψ, представляющие собой нетривиальные решения указанной выше задачи, называют собственными функциями. Можно показать, что собственные значения вещественны и положительны. Для этого можно исходить из формулы Грина для произвольных функций φ и ψ:

где S – область на плоскости, С – контур, ограничивающий эту область.

Заменим φ на ψ^*. Тогда

вследствие граничных условий. Кроме того, ∆ψ = −g²ψ из уравнения. Подставляя это в равенство, полученное из формулы Грина, находим

откуда следует, что g² > 0. Полученная формула позволяет найти собственное значение, если известна соответствующая собственная функция. Собственные значения образуют возрастающую счетную последовательность положительных чисел, среди которых имеется отличное от нуля наименьшее число: g₁², g₂²,..., g_n²,... Эта последовательность не имеет точек сгущения, за исключением ∞. Каждому собственному значению соответствует одна или больше собственных функций. Можно показать, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на сечении волновода S:

Для доказательства воспользуемся второй формулой Грина:

Правая часть этого равенства обращается в нуль в силу граничных условий на контуре сечения волновода

Подставляя сюда из уравнений ∆φ_n = −g_n² φ_n, ∆φ_m = −g_m²·φ_m, получаем

Так как по предположению , то

Аналогично доказывается, что

В случае вырождения, т. е. когда φ_n и φ_m соответствуют одному и тому же собственному значению, они могут и не быть ортогональны. Известно, что в этом случае возможен процесс ортогонализации, т.е. можно подобрать такие линейные комбинации из этих функций, которые будут ортогональны друг к другу, оставаясь при этом собственными функциями (соответствующими одному собственному значению). Постоянная распространения для данной моды γ_n может быть определена, если известно собственное значение g_n²:

Распространение без затухания имеет место, если γ_n мнимая величина, т. е. если выполняется неравенство

Это условие можно записать иначе:

критическая частота для n-й моды. Если это условие выполняется, то постоянная распространения равна

Отсюда можно найти длину волны в волноводе и фазовую скорость. Действительно,

где Λ_n - длина волны в волноводе, λ - длина волны в неограниченном пространстве с параметрами µ, ε. Подставляя это в выражение для γ_n, получаем (g_n=2π/λ_n):

откуда

Фазовая скорость может быть найдена по известной длине волны:

Итак, волны, распространяющиеся в волноводе, могут быть представлены в виде суммы электрических (E или TM, ψ ≡ 0) и магнитных (H или TE, φ ≡ 0) волн. Им соответствуют две системы векторных функций, электрические - и магнитные - .

Отметим, что векторные функции взаимно ортогональны в том смысле, что

при . Интегралы берутся по сечению волновода. Данное свойство позволяет рассматривать волны различных мод как независимые, так как благодаря ортогональности энергия и мощность складываются из энергии и мощности отдельных мод. Запишем выражение для H-волн через потенциальную функцию ψ:

Поперечные составляющие электрического и магнитного векторов перпендикулярны, что следует из равенства нулю их скалярного произведения

Из приведенных выше формул следует, что поперечные составляющие поля связаны между собой соотношением (для каждой моды)

где . Для распространяющихся мод Z_h вещественно:

Для E-волн поле может быть записано в виде

здесь также перпендикулярны. Кроме того, причем . Для распространяющихся волн Z_e вещественно:

Ранее было показано, что волна в волноводе может распространяться, если выполняется условие

причем среди g_n имеется наименьшее, например g₁. Отсюда следует, что по данному волноводу при заданной частоте может распространяться лишь конечное число мод; это число растет с ростом частоты. В частности, существует интервал частот, в котором в волноводе может распространяться лишь одна мода.

Поиск по сайту: