Волновые пакеты

Пространственно-временное поле F (t, r) можно рассматривать как функцию четырех переменных: времени и трех координат. Тогда эта функция разлагается в четырехкратный интеграл Фурье (в данном случае в комплексной форме):

. (25)

Здесь под d k следует понимать дифференциал объема в трехмерном пространстве волнового вектора. Ф(ω, k ) дает вклад в поле от пространственно-временной гармоники с заданной частотой и волновым вектором. Однако представление (25) является всего лишь формальным соотношением, не использующим информации о физической природе волн, по которым производится разложение. Внесение такой информации осуществляется применением дисперсионного соотношения. При этом частота в (25) перестает быть самостоятельной переменной интегрирования, интеграл превращается в трехмерный, в показателе экспоненты ω следует рассматривать как функцию ω ( k ), задаваемую законом дисперсии:

. (26)

В ряде случаев поле представляет собой ограниченное в пространстве перемещающееся образование, которое удается описать как волну, промодулированную по амплитуде ограниченной в пространстве функцией. В одномерном случае такую картину можно проиллюстрировать рис.

Если пространственный размер области возмущения существенно больше длины волны, заполняющей эту область, то в спектр такого образования дают вклад только волны с близкими к некоторому значению k ₀ волновыми числами или, что то же самое, волны с близкими к некоторому значению ω₀ частотами. Суперпозиция группы волн с близкими частотами (волновыми векторами), занимающая ограниченную область пространства, называется волновым пакетом.

Узкополосность по частоте волнового пакета позволяет для всех волн, составляющих пакет, разложить дисперсионное уравнение в ряд Тейлора по малым отклонениям волнового вектора от центрального значения. Ограничимся разложением до квадратичного члена и рассмотрим одномерный случай:

. (27)

Коэффициент при линейном члене является, как мы знаем, групповой скоростью волн. Обозначим коэффициент при квадратичном члене в (27) через β. Тогда дисперсионное уравнение примет вид:

. (28)

Теперь зададим спектр начального волнового пакета в виде гауссовой функции, но, в отличие от рассмотрения в предыдущем разделе, не по частотам, а по волновым числам:

. (29)

Параметр α определяет ширину спектра пакета в k -пространстве. Волновое поле пакета будет описываться следующей формулой:

. (30)

Выполнив интегрирование в последней формуле, получим:

(31)

Здесь функция Erfi(x) – комплексная функция ошибок (комплексный интеграл вероятностей). Можно видеть, что формула (31) описывает волну на центральной частоте ω ₀ (или с центральным волновым числом k ₀) с амплитудой, являющейся функцией координат и времени. Поскольку использовалась комплексная форма представления поля, амплитуда в последней формуле также является комплексным числом. Квадрат модуля амплитуды будет пропорционален физически наблюдаемой характеристике волны – ее интенсивности:

. (32)

Интенсивность задается гауссовой функцией, максимум которой перемещается в пространстве x_m=v _г t. Скорость перемещения совпадает с групповой скоростью. Ширина гауссовой кривой в пространстве увеличивается – знаменатель в показателе экспоненты увеличивается со временем. Максимальное значение функции – множитель перед экспонентой уменьшается со временем. Наличие множителя, определяемого интегралом ошибок, вносит дополнительные несимметричные относительно центра искажения формы импульса. Таким образом, волновой пакет перемещается с групповой скоростью, «расплывается» в пространстве и уменьшается по амплитуде. При этом расплывание и уменьшение по амплитуде обусловлены именно дисперсией волн, наличием квадратичного члена в дисперсионном уравнении (28). В среде без дисперсии, когда β = 0, волновой пакет распространяется без изменения формы. Характер распространения и искажения волнового пакета в диспергирующей среде показан на рис. Здесь изображена нормированная функция (32), в которой параметры α, β и v _г выбраны равными единице. Кривые 1, 2, 3 и 4 соответствуют моментам времени t = 0, 3, 6 и 9, соответственно.

Искажению при распространении в среде с дисперсией подвергаются не только гауссовские импульсы, но и любые другие сигналы. Характер искажений в приближении квадратичной дисперсии также универсален: происходит уширение импульса и уменьшение его амплитуды в максимуме. Таким образом, в практических задачах явление дисперсии волн обычно имеет негативный характер. Действительно, в системах передачи информации искажение передаваемых сигналов крайне нежелательно. Более того, как можно видеть из последнего рисунка, при достаточном удалении от источника импульсы начинают перекрываться, накладываться друг на друга, что может привести к невозможности правильного приема информации. В заключение следует заметить, что уменьшение амплитуды волнового пакета при его распространении не связано с диссипацией энергии. Можно показать интегрированием формулы (32) по всему пространству, что полная энергия пакета сохраняется во времени.

Поиск по сайту: