ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ

2.1. Гипотеза де Бройля

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм является особенностью не только электромагнитного излучения, но имеет универсальное значение, и что связь между характеристиками микрочастицы как волны, так и корпускулы, такая же, как и у фотона.

, откуда .

Согласно де Бройлю, любая микрочастица может характеризоваться длиной волны Оценим, например, величину для электрона, ускоренного полем с разностью потенциалов 25 В:

, откуда м/с;

Å,

т.е. такому электрону соответствует диапазон рентгеновских волн.

2.1. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля.

Характерным проявлением волновых свойств рентгеновских лучей является их дифракция на кристаллической решетке (т.к. постоянная решетки сопоставима с длиной волны). Для дифракции рентгеновских лучей справедлива формула Вульфа-Бреггов

-

Следовательно, и электроны должны дифрагировать на кристаллической решетке. Установили это экспериментально в 1927 г. К.Дж.Дэвиссон и Л.Х.Джермер.

В опыте угол θ выбирался постоянным, а длина волны менялась путем изменения ускоряющей разности потенциалов.

Т.к. , а , то .

Условие максимумов: ,

где = 1, 2, 3, … Отсюда максимум интенсивности регистрации электронов должен наблюдаться при

.

2.2. Волна де Бройля. Волновой пакет.

Де Бройль связал свободно движущуюся частицу, обладающую энергией и импульсом , с некоторой волной . Если движение частицы одномерно, то ей можно сопоставить некоторую плоскую волну. В соответствии с формулой Эйлера

()

ее можно представить в комплексной форме:

- волна де Бройля,

где , а , поэтому уравнение волны де Бройля можно записать через параметры частицы:

,

где - фаза волны.

Условие , позволяет определить положение постоянной фазы волны. Дифференцируя это соотношение по времени, получим

, т.е.

- это скорость распространения одинаковой фазы волны, так называемая фазовая скорость

.

Э.Шредингер предположил, что частицу следует связывать не с плоской волной, а с пакетом волн (или группой волн). Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по и по направлению распространения. У волнового пакета амплитуда отличается от нуля лишь в небольшой области пространства

Пусть в группе волн изменяется пределах

или соответственно изменяется в пределах

,

где << 1 ( << 1).

В малом интервале значений вблизи функцию в окрестности можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами разложения

, где , ;

тогда результирующая волна, являющаяся суперпозицией волн, формирующих пакет, будет иметь вид:

Произведем замену переменных: ,

Из формул Эйлера

.

Тогда

.

Обозначив , получим

Это волна с частотой и волновым числом , у которой модулирована амплитуда . Амплитуда пакета волн имеет максимум, когда

Координата максимума амплитуды («центра тяжести»), удовлетворяет соотношению

.

Скорость распространения «центра тяжести» пакета волн (а, следовательно, и энергии микрочастицы) будет определяться выражением

Величина

называется групповой скоростью. (Сравним с фазовой скоростью ).

Учитывая, что полная энергия частицы определяется выражением

,

можно найти соответствующую ей групповую скорость:

Таким образом, групповая скорость равна скорости частицы.

Групповая скорость никогда не может превысить скорости света, тогда как фазовая скорость может быть больше скорости света, т.к. она не связана с переносом энергии.

2.4. Соотношение неопределенностей.

Волновой пакет имеет определенную пространственную протяженность.

Амплитуда пакета определяется

,
где
и будет равна нулю в том случае, когда ( при ). Но при . Отсюда или , более точно
.

Это соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Из соотношения неопределенностей следует, что, чем точнее задано значение импульса (), тем менее точно определена координата микрочастицы () и наоборот.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам. Это соотношение является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

Анализ выражения для волнового пакета позволяет получить еще одно важное соотношение.

Время , за которое волновой пакет переместится на соответствует условию

,

Откуда следует, что , или , точнее,

- это то же соотношение неопределенностей для энергии и времени.

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга вытекает важное следствие:

.

2.5. Статистическое толкование волновых функций.

Волновой процесс, соответствующий состоянию микрообъекта, может быть описан плоской монохроматической волной де Бройля только в случае свободного движения частицы, обладающей определенной энергией и импульсом .

Функция, которая описывает волновой процесс в общем случае (произвольное движение частицы в произвольных полях), является весьма сложной. Она зависит от координат и времени, и называется волновой функцией или пси-функцией - .

Статистическое толкование волн де Бройля следует из интерпретации волновых функций, которая была дана Максом Борном в 1926 г. Согласно М.Борну, квадрат модуля волновой функции в какой-либо точке пространства определяет плотность вероятности локализации микрочастицы в этой точке.

Вероятность того, что частица будет локализована в пределах элементарного объема в окрестности точки с координатами в момент времени , в соответствии с трактовкой Борна может быть определена как

.

(Отсюда следует, что - плотность вероятности). Поскольку вероятность локализации частицы во всем объеме равна единице, то

.

Следовательно, - функция должна удовлетворять этому условию, называемому условием нормировки. Пси-функции, удовлетворяющие условию нормировки, называются нормированными.

Из смысла пси-функции следует, что, невозможно точно определить локализацию (местоположение) микрочастицы или траекторию ее движения. Возможно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть локализована в различных точках пространства. В этом проявляется своеобразие микромира.

Поиск по сайту: