Стоячие и бегущие волны

Рассмотрим одно из частных решений волнового уравнения:

(9)

Построим график зависимости функции U от безразмерной координаты r = kx для нескольких различных моментов времени. График представлен на рис.

В начальный момент t = 0 волновое поле изображено кривой 1. Кривая 2 показывает состояние поля через 1/6 временного периода (). Спустя 1/3 периода после начального момента волна принимает состояние 3. Наконец, через половину периода поле придет к графику кривой 4. Далее все пойдет в обратном порядке – от 4 к 3, от 3 к 2 и так далее. Как можно видеть из рисунка, положения точек экстремумов (пучностей) и точек нулей (узлов) функции во времени не изменяются. В этой связи данное решение называют стоячей волной. Функция, изображающая изменения волны в пространстве, периодична. Поскольку периодом синуса или косинуса является число 2π, пространственный период волны, как это следует из (9), равен λ = 2π/k. Число λ называют длиной волны. Совершенно по иному изменяется во времени и пространстве решение вида:

. (10)

На рис. представлены «мгновенные снимки» графиков функции (10) в несколько последовательных моментов времени.

Здесь, аналогично предыдущему рисунку, показаны графики функции U в зависимости от безразмерной переменной r. Кривыми 1, 2 и 3 представлены состояния волнового поля в момент времени t = 0, спустя 1/3 временного периода и спустя 2/3 временного периода, соответственно. В отличие от стоячей волны, в данном решении точки нулей, точки экстремумов, как и вся кривая в целом, перемещаются в пространстве. При положительном значении волнового числа смещение синусоиды происходит слева направо, при отрицательном – справа налево. Положение любой фиксированной фазы волны ωt-kx=const смещается с течением времени. Вследствие этого, решение, задаваемое формулой (10), называют бегущей волной. Нетрудно видеть, что в бегущей волне точка любой фиксированной фазы движется с постоянной скоростью , которая называется фазовой скоростью. Типичным примером стоячей волны являются колебания в натянутой и закрепленной на концах струне. Поскольку концы зафиксированы, они должны соответствовать узлам синусоид. Тогда на длине струны L должно укладываться целое число половин длин волн, то есть L =nλ/2, n = 1, 2, 3, …. Мода, у которой на длине струны укладывается только одна половина длины волны, называется основной. Это – самая низкочастотная стоячая волна. Ее частота равна . Примерами бегущей волны являются волны на поверхности воды, звуковые волны в неограниченном пространстве.

Поиск по сайту: