ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Основные понятия теории колебаний

Теория волновых явлений является продолжением и расширением теории колебаний, основные сведения из которой представляются в данном разделе в качестве введения. Будем называть процессом изменение во времени некоторой физической величины безотносительно ее изменений в пространстве. В качестве такой величины может выступать любой измеряемый или описываемый математически параметр объекта или системы – ток в участке электрической цепи (скалярная величина), напряженность электрического поля в данной точке пространства (векторная величина), проводимость замагниченной плазмы (тензор) и т. д. С математической точки зрения процесс описывается функцией F(t) одной переменной t – времени.

Периодический, колебательный процесс, или просто колебание – процесс, повторяющийся во времени. Если период повторения составляет промежуток времени Т, то для него справедливо тождество:

, (1)

где n = 0, 1, 2, ∞. Пример графика периодического процесса представлен на рис. 1.

Рис. 1. Пример графика периодического процесса

Величина, обратная периоду колебаний f =1/T, называется частотой. Она показывает, сколько раз процесс повторяется в единицу времени и измеряется в герцах (Гц=1/c).v Гармоническим колебанием называется периодический процесс, в котором рассматриваемая величина изменяется во времени по гармоническому закону, то есть описывается тригонометрической функцией косинуса или синуса. В силу известного тригонометрического соотношения, позволяющего перейти от синуса к косинусу добавлением к аргументу величины π/2, мы можем без потери общности ограничиться рассмотрением косинусоидальных зависимостей. Тогда гармоническое колебание может быть представлено в виде:

(2)

Величина А называется амплитудой колебаний и задает диапазон изменения рассматриваемого параметра от минимального значения –А до максимального значения +А – размах колебаний. Аргумент тригонометрической функции, безразмерная величина является мгновенным значением фазы колебания. Фаза в начальный момент времени t = 0, равная , называется начальной фазой. Фазу принято измерять в радианах. Аргумент функции можно представить в несколько ином виде: . Отсюда следует, что значение множителя перед временем связано с частотой соотношением . Этот множитель называют круговой или циклической частотой, и единицей ее измерения является обратная секунда с^-1.

Квазипериодическим процессом называется процесс, который повторяется во времени приближенно и при не слишком больших n:

. (3)

Необходимо отметить, что понятие «приближенно» требует уточнения для каждого конкретного вида процесса. Важную роль в теории колебаний играют квазипериодические процессы, называемые слабозатухающими и слабонарастающими колебаниями. Для таких процессов амплитуда рассматривается не как постоянная величина, а как функция времени, медленно меняющаяся по сравнению с изменением тригонометрической функции. В этом случае процесс можно описать выражением:

. (4)

Величина A₀ представляет собой начальную амплитуду колебаний, а величина γ характеризует скорость нарастания или затухания колебаний. В первом случае (γ > 0) эта величина называется инкрементом, во втором – декрементом. Условием квазипериодичности процесса является то, что модуль инкремента или декремента должен быть много меньше частоты колебаний. В противном случае процесс называется ангармоническим. На рис.2 представлены графики слабозатухающего, слабонарастающего, и ангармонического колебаний. Здесь время изменяется в пределах от 0 до 6π, циклическая частота равна 1 с^-1, декремент/инкремент составляет –0,01,

+0,01 и –1 с^-1, соответственно.

Рис. 2. Графики слабозатухающего (1), слабонарастающего (2) и ангармонически затухающего (3) колебаний

Безразмерную величину называют логарифмическим декрементом или инкрементом. Ее числовое значение показывает, за сколько периодов колебаний их амплитуда уменьшится или увеличится в e раз. В частности, если θ=1, то колебание затухает в e раз уже за один период. Очевидно, при этом процесс следует считать апериодическим (ангармоническим).

Для колебательных систем с диссипацией (потерями энергии) вводится еще одна безразмерная величина – добротность системы. Ее численное значение определяется соотношением Q = π/θ. Это – энергетическая характеристика, показывающая, за сколько периодов энергия, первоначально запасенная в системе, уменьшится в e раз. Можно дать и несколько иное определение для добротности. Величина Q показывает, во сколько раз энергия в колебательной системе больше энергии, ею теряемой из-за диссипации за один период. Квазипериодический колебательный процесс описывается обыкновенным дифференциальным уравнением колебаний:

. (5)

Общее решение этого уравнения может быть записано в виде:

. (6)

Здесь С₁ и С₂ – произвольные комплексные постоянные, определяемые начальным значением функции F и начальным значением ее производной по времени. Частота ω определяется соотношением:

. (7)

Можно представить общее решение и в чисто вещественном виде:

, (8)

где P и Q – вещественные константы, также определяемые начальными условиями. Такое описание принято называть представлением колебаний в виде квадратурных компонентов (косинус-компонента и синус-компонента).

Кроме того, общее решение может быть построено с использованием амплитуды и начальной фазы так, как это представлено в формуле (4). В этом случае роль произвольных постоянных играют начальная амплитуда и начальная фаза.

Все указанные формы представления решения уравнения колебаний эквивалентны – могут быть преобразованы друг в друга, и каждая из них широко используется в различных приложениях. Дифференциальное уравнение (5) является линейным, следовательно, для процессов, им описываемых, имеет место принцип суперпозиции. Это означает тот факт, что совместное действие нескольких колебаний представляет собой алгебраическую сумму всех составляющих. Рассмотрим два колебания с одинаковой частотой, различными амплитудами и различными начальными фазами:

(9)

(10)

Обозначим разность фаз колебаний величиной . При этом суммарное колебание удобно представить с помощью операции векторного сложения исходных процессов. Представим первое колебание в виде вектора, ориентированного, например, горизонтально и имеющего длину, равную амплитуде колебания. Второй процесс будет изображаться вектором, имеющим соответствующую длину и повернутый относительно первого на угол α. Тогда суммарное колебание изобразится вектором, равным сумме первого и второго векторов, как это показано на рис.3.

По известной теореме косинусов из геометрии (рис. 3) можно определить амплитуду суммарного колебания:

(11)

При необходимости можно рассчитать и фазу суммарного колебания. Принцип суперпозиции позволяет описать важное физическое явление – биение колебаний. Рассмотрим сумму двух колебаний, имеющих одинаковые амплитуды, но немного отличающихся по частоте:

(12)

(13)

Разность частот считается много меньшей каждой из исходных частот | | << . Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:

. (14)

Обозначив величину , а , мы можем записать формулу для суммарного процесса в виде:

. (15)

Последний сомножитель здесь представляет собой высокочастотное колебание, а все остальное можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду, которая также представляет собой периодическую функцию времени, однако с существенно меньшей частотой. Графическое представление биений колебаний показано на рис. 4.

Рис. 4. График биения колебаний

Здесь показана сумма двух колебаний единичной амплитуды с циклическими частотами, составляющими 0,95 и 1,05 обратных секунд. В радиотехнике такое колебание называется амплитудно-модулированным. В данном случае имеет место 100-процентная модуляция, то есть амплитуда меняется во времени от максимального значения, равного 2, до нулевого уровня. Частичная, или неполная, модуляция имела бы место, если бы амплитуды складываемых колебаний отличались друг от друга.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

В отличие от процессов – изменений физических величин только во времени, волновые явления разворачиваются как во времени, так и в пространстве. В этом случае говорят о волновых полях. В общем случае поле задается функцией многих переменных, одной из которых является время t, а остальные представляют собой пространственные координаты. В зависимости от характера рассматриваемой задачи поля могут быть одномерными, зависящими от одной координаты, двухмерными или трехмерными. Обозначив через r радиус-вектор точки в пространстве, можно задавать поле функцией F (r, t). Аналогично процессам, поля могут быть скалярными, векторными или тензорными. Поскольку, работая с полями, мы имеем дело с функциями нескольких переменных, математический аппарат волновых явлений базируется на использовании частных производных, и вместо обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем оперировать дифференциальными уравнениями в частных производных. Основным объектом этого математического аппарата является волновое уравнение, к рассмотрению которого мы и переходим в данной главе. Здесь мы рассмотрим ряд явлений из различных областей физики, описание которых сводится к универсальной математической форме – волновому уравнению.

Поиск по сайту: