Волновое уравнение

Для доказательства существования в системе свободных гармонических колебаний, необходимо было получить дифференциальное уравнение вида . Из дифференциального уравнения можно было определить циклическую частоту собственных колебаний ω и, следовательно, рассчитать период колебаний .

Можно предположить, что наличие в системе волнового процесса тоже описывается дифференциальным уравнением. Каков вид этого уравнения? Какие характеристики волнового процесса можно определить из этого уравнения?

Рассмотрим длинный твердый стержень, вдоль которого бежит продольная волна. Распространение продольной волны связано с возникновением в теле деформации растяжения-сжатия. Кроме того, все точки среды, по которой бежит волна, двигаются.

Пусть малый участок стержня длиной , расположенный между сечениями стержня с координатами x и , испытывает деформацию растяжения.

- смещение от положения равновесия точек, находящихся в левом сечении рассматриваемого участка стержня и имеющих координату х.

- смещение от положения равновесия точек, находящихся в правом сечении рассматриваемого участка стержня и имеющих координату .

На выделенный участок стержня действуют силы упругости и со стороны растянутых соседних участков стержня. Строго говоря, скорости и ускорения различных точек рассматриваемого участка разные, но ввиду малости участка отличием скоростей и ускорений можно пренебречь. Запишем для выделенного участка стержня второй закон Ньютона:

,

где - масса рассматриваемого участка. В проекции на ОХ:

Масса рассматриваемого участка стержня .

По определению проекция ускорения – это вторая производная от смещения .

Силы упругости могут быть рассчитаны через напряжения в соответствующих сечениях: и .

После подстановки получаем

Очевидно, что отношение - это не что иное, как производная от напряжения по координате .

Согласно закону и напряжение прямо пропорционально относительному удлинению , где Е – модуль упругости вещества или модуль Юнга. Относительное удлинение ε – это отношение абсолютного удлинения к начальной длине образца. В нашем случае абсолютное удлинение равно , а первоначальная длина рассматриваемого участка - . Тогда относительное удлинение - производная от смещения по координате. Подставляем значение относительного удлинения в уравнение (*):

С учетом того, что модуль Юнга Е – это постоянная величина, получаем уравнение

Нетрудно показать, что если ввести обозначение , то решением уравнения является уравнение плоской бегущей волны .

Подведем итоги.

1. Если для какой-либо системы удается получить дифференциальное уравнение вида , то в системе распространяется волновой процесс. По этой причине дифференциальное уравнение называется волновым уравнением.

2. Волновое уравнение позволяет определить скорость волны v. Константа, стоящая в волновом уравнении перед второй производной по координате, - это величина, равная квадрату скорости волны.

В нашем случае получено значение скорости продольной волны в твердом теле .

Поиск по сайту: