Дифференциальное уравнение оси изогнутой балки, лежащей на сплошном упругом основании

В инженерной практике часто встречаются балочные элементы конструкций, лежащие на сплошном упругом основании. К таким конструкциям могут быть отнесены шпалы железнодорож­ного пути, ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, опирающиеся на грунты и др. Кроме того, к таким конструкциям относятся также и рельсы, у которых число опор бесконечно вели­ко, а расстояние между ними мало по сравнению с длиной.

В машиностроении и различных других областях техники для многих конструкций в эксплуатационном режиме, находящихся в условиях сплошного контакта с другими изделиями, можно приме­нить расчетную схему балки на упругом основании.

Расчет балки на упругом основании в строгой постановке сво­дится к решению контактной задачи между конструкцией и осно­ванием. Сложность решения контактных задач в строгой постанов­ке общеизвестна. Поэтому для решения инженерных задач, связан­ных с расчетом балки применяются приближенные подходы, суть которых заключается в следующем.

Предварительно устанавливается зависимость между реактивным отпо­ром и осадкой поверхности основа­ния. Одной из наиболее распростра­ненных гипотез является гипотеза о пропорциональной зависимости меж­ду реакцией и осадкой - гипотеза Винклеровского основания.

Рис. 17.1

На рис.17.1 показана деформация балки от внешней нагрузки, распределенной по произвольному закону. Реакция со стороны ос­нования в произвольной точке, при соблюдении условий проскальзывания на контак­тной поверхности между подошвой балки и основанием, принимается пропорцио­нальной прогибу:

, (17.1)

где r (x) - реакция основания, приходящаяся на единицу длины балки, (Н/м); y (x) - просадка основания; ; b - ширина по­дошвы балки; k ₁ - коэффициент, характеризующий жесткость ос­нования и называемый коэффициентом податливости ос­нования или коэффициентом постели, [Па/м].

Этот коэффициент представляет собой отпор основания, при­ходящийся на 1 м² площади при просадке, равной единице. Знак минус в выражении (17.1) означает, что реакция противоположна направлению просадки.

Значения коэффициента постели k ₁ для некоторых грунтовых и скальных оснований приведены в таблице 17.1.

Таким образом, со стороны основания на балку действует сплошная распределенная нагрузка интенсивностью r (x). Суммар­ная интенсивность распределенной нагрузки, приложенной к балке при произвольном значении x определяется:

, (17.2)

где q (x) - приложенная к балке, заданная распределенная нагрузка (например, вес погонной длины балки).

Таблица 17.1. Значения коэффициента постели k ₁ для различных грунтов

Дифференциальное уравнение изгиба упругой балки в данном случае принимает вид:

, (17.3)

или после подстановки (17.2) в (17.3) получим:

. (17.4)

Физический смысл модели, приводящий к уравнению (17.4), может быть различен. Так, если основание принимать в виде упру­гого полупространства, взамен модели Винклеровского основания, из приближенных решений контактных задач, то коэффициент k имеет вид:

,

где E_o - модуль деформации грунта основания; m - коэффициент Пуассона.

В случае балки постоянного сечения интегрирование уравнения (17.4) не представляет особых затруднений. Вводится обозначение:

;

где - называется коэффициентом относительной жесткости осно­вания, [1/м].

Тогда дифференциальное уравнение (17.4) принимает вид:

. (17.5)

Решение уравнения (17.5) можно получить общими методами решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффици­ентами, и оно имеет следующую структуру:

, (17.6)

где С_j - произвольные постоянные, j = 1, 2, 3, 4; y_j (x) - частное линейно - независимое решение соответствующего (17.5) однородно­го уравнения

, (17.7)

y*(x) - частное решение неоднородного уравнения (17.5), зависящее от характера внешней нагрузки q (x).

Частное решение однородного уравнения (17.7) представляется в виде , подставляя которое в (17.7), получим характе­ристическое уравнение

. (17.8)

Используя формулы Муавра для корней из комплексных чисел найдем четыре корня уравнения (17.8):

; ; ; ,

где i - мнимая единица (i = ).

Следовательно, решение вида (17.6) будет таким

. (17.9)

Произвольные постоянные С ₁, С ₂, С ₃ и С ₄ находятся из гранич­ных условий для конкретной задачи, как и при расчете обычной балки.

Поиск по сайту: