Расчет шпалы рельсового пути, как короткой балки на упругом основании

Пусть требуется определить прогибы и внутренние усилия в железобетонных шпалах E = 3,05×10¹⁰ Н/м², длиной 2 l = 2,7 м, с размерами поперечного сечения b ´ h = 0,25´0,18 м²,лежащей на балластном слое щебня k ₁ = 75 МПа (см. табл.17.1), нагруженной дву­мя силами P = 210 кН каждый, приложенных на расстоянии a = 0,54 м от ее концов (рис.17.8).

Решение:

1. Расчет начальных параметров

Последовательно вычисляем все необходимые геометрические и жесткостные расчетные характеристики для заданной системы:

м⁴;

м³;

H×м²;

Па;

.

Поместим начало системы координат xy в центре тяжести левого крайнего сечения шпалы. Граничные условия задачи в начальном сечении при x = 0запишем в виде:

M ₀ = 0; Q ₀ = 0. (17.48)

Согласно (17.40)¸(17.43) запишем функции прогибов, углов пово­рота и внутренних усилий для I участка ():

(17.49)

Составим соответствующие выражения для II участка (), учтя, что на границе участков I и II, т.е. при x = a и имеем скачок функции поперечной силы на величину :

; (17.50)

; (17.51)

; (17.52)

. (17.53)

Для определения и , используем симметричный характер нагружения балки относительно среднего сечения x = l, где имеем:

; .

Составим следующую систему уравнений:

; (17.54)

, (17.55)

Cогласно (17.54) и (17.55), учитывая, что

= 1,06×1,35» 1,5; = 1,06×(1,35 - 0,54) = 0,9,

с учетом данных таблицы 17.7, получим:

После ряда преобразований приходим к системе:

корни которой принимают значения:

м; рад.

В качестве условия проверки правильности вычисления значе­ний начальных параметров, подставим их значения в (17.54) и (17.55), получим:

Следовательно, величины и определены верно.

2. Определение прогибов, углов поворота и внутренних усилий

Разобьем балку на 10 участков. Используем симметрию задачи, поэтому будем рассматривать только половину балки, т.е. сечения 0, 1, 2, 2^’, 3, 4, 5 (см. рис.17.9, а). Расчеты будем вести в табличной форме (см. табл.17.8). Поэтому, согласно (17.52), запишем выражения прогибов, углов поворота и внутренних усилий для I и II участков:

УчастокI.

Сечение 0, x = 0:

= 8,68×10^-3 м; = -2,5×10^-4 рад; = 0; = 0.

Cечение 1, x = 0,27 м.

Cечение 2, x = 0,54 м.

Участок II.

Cечение 2¢, x = 0,54 м.

Cечение 3, x = 0,81 м.

Сечение 4, x = 1,08 м.

Сечение 5, x = 1,35 м.

Результаты расчетов внесены в таблицу 17.8 и по этим значениям построены эпюры прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил (см. рис.17.9, б, в, г).

Таблица 17.8

№ сеч.	x			U1	U2	U3	U4	y, 10-2 м	, 10-3 рад	M, кНм	Q, кН
			-	1,000	0,000	0,000	0,000	8,680	-0,250	0,000	0,000
	0,27	0,3	-	0,999	0,299	0,045	0,004	8,597	-0,251	6,50	45,82
	0,54	0,6	-	0,978	0,597	0,179	0,036	8,352	-1,570	25,87	90,90
2’	0,54	0,6		0,978	0,597	0,179	0,036	8,352	-1,570	25,87	-119,1
	0,81	0,9	0,3	0,891	0,880	0,402	0,121	7,738	-2,413	1,71	-76,33
	1,08	1,2	0,6	0,656	1,117	0,703	0,285	7,143	-1,938	-17,67	-36,98
	1,35	1,5	0,9	0,166	1,249	1,062	0,549	6,904	0,000	-22,85	-0,04

Рис. 17.9

Вопросы для самопроверки

1. Раскройте суть гипотезы Винклеровского основания.

2. Поясните физический смысл коэффициента постели.

3. Дайте определение относительно коротких и балок бесконечной длины

4. Подчеркните отличительные особенности между дифференциальными уравнениями изгиба обычных балок и балок на упругом основании.

5. Какими свойствами должны обладать функции Крылова.

6. Сформулируйте условия достаточной жесткости и прочности конструкций на упругом основании.

Поиск по сайту: