Расчет коротких балок на упругом основании. Функции Крылова

Рис. 17.8

Значительно более сложным оказывается решение для корот­ких балок, когда требуется учесть условия на обоих концах балки. К таким балкам относится, например, рельсовый путь на шпалах (рис.17.8). Для коротких балок нельзя использовать реше­ния, полученные для балок беско­нечной длины и требуется исходить из общего интеграла (17.9), содержа­щего четыре произвольные посто­янные интегрирования. Для реше­ния обычно пользуются нормаль­ными фундаментальными функ­циями уравнения (17.5). Эти функ­ции называемые функциями Крылова, являются решениями однородного уравнения (17.5) и удовлетворяют специальным условиям при x = 0.

Cоставим следующую таблицу, в которой сведены начальные значения функций Крылова и их производных:

. (17.34)

Так как во всех клетках этой таблицы стоят нули, лишь на главной диагонали единицы, то система частных решений U_k , называется системой с единичной матрицей. Эти решения суть:

. (17.35)

Следует отметить, что производные функций Крылова (17.35) выражаются снова через те же функции, причем:

. (17.36)

Таким образом, общий интеграл уравнения (17.9) может быть представлен через функции Крылова:

. (17.37)

Постоянные интегрирования C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄имеют здесь со­вершенно определенный смысл. Действительно, если положить x = 0, и воспользоваться свойством (17.34) введенных функций, получим:

(17.38)

Таким образом:

. (17.39)

Формула (17.39) представляет общий интеграл уравнения (17.5). Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это на­чальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле (17.39), и широко применяемый в строи­тельной механике, называетсяметодом начальных пара­метров.

Согласно метода начальных параметров, балка разбивается на участки. Подставив (17.38) в (17.39), получим функцию прогибов на I участке балки:

. (17.40)

Пользуясь приведенными в (17.36) правилами дифференциро­вания от функций прогибов (17.40) переходим к углам поворота и далее по формулам (17.25), (17.26) к внутренним усилиям на I участке:

; (17.41)

; (17.42)

. (17.43)

Функцию продолжаем на второй и последующие участки. Приращения этой функции будут зависеть от приращений внутренних сил , и интенсивности нагрузки на границах между участками . Добавляя эти приращения к функции прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил, получим универсальные формулы:

; (17.44)

; (17.45)

; (17.46)

, (17.47)

здесь для краткости обозначено ; - абсцисса i- ой границы между участками.

Как и в обычной балке, в начале координат часть начальных параметров бывает известна, а остальные определяются из гранич­ных условий, формируемых для противоположного конца стержня.

С целью облегчения вычислений при выполнении практиче­ских расчетов балок на упругом основании в таблице 17.7 приводят­ся значения тригонометрических, гиперболических функций и функций Крылова при заданном аргументе.

Таблица 17.7

Поиск по сайту: