Биения волн

Напомним, что явление биений колебаний наблюдается при сложении двух гармонических процессов с близкими частотами и заключается в амплитудной низкочастотной модуляции суммарного высокочастотного колебания. Для рассмотрения явления биения волн вернемся к одномерной волновой задаче. Пусть вдоль оси x распространяются две однотипные волны с одинаковой (единичной) амплитудой и близкими частотами ω₁ и ω₂. Под словом «однотипные» мы будем понимать то, что волны имеют один и тот же закон дисперсии ω=ω(k) или наоборот k=k(ω) – дисперсионное уравнение может быть разрешено либо относительно частоты, как функция волнового числа, либо наоборот.

Считая, что каждая из волн задается выражением U(x, t)_1,2 = cos(ω_1,2t–k_1,2x), суммарное колебание запишем в виде:

. (3)

Частоты волн близки по величине ω₁ = ω₂ + Δω, Δω<<ω₁, ω₂. Тогда дисперсионное уравнение k₁=k(ω₁)=k(ω₂+Δω) можно разложить в ряд Тейлора по малой величине Δω, ограничившись линейным по смещению частоты членом:

. (4)

Введя обозначения k= (k₁+k₂)/2 и ω = (ω₁+ω₂)/2, можно переписать (3) в следующем виде:

. (5)

Теперь мы можем видеть, что суммарная волна представляет собой высокочастотную бегущую волну с частотой, равной полусумме частот складываемых волн и волновым числом, равным полусумме исходных волновых чисел. Амплитуда результирующей волны представляет собой также бегущую волну:

, (6)

где .

Рисунок ниже представляет собой «мгновенный снимок» волнового поля (5), как функцию U(x) в некоторый момент времени.

По сути дела, данный рисунок ничем не отличается от рисунка, иллюстрирующего биения колебаний, за исключением того, что там представлен график процесса во времени, а здесь показана функция координаты. Высокочастотная волна (несущая) распространяется с фазовой скоростью ω/k, в то время как огибающая амплитуды ведет себя иначе. Постоянное значение фазы огибающей определяется соотношением Δωt/2–Δkx/2=const. Нетрудно убедиться в том, что точка постоянного значения фазы огибающей перемещается со скоростью:

. (7)

Величина v _г =∂ω/∂k называется групповой скоростью волн. Ее численное значение определяется взятием частной производной от функции ω(k), задаваемой законом дисперсии. Если рассматривать трехмерное пространство, то производную следует рассматривать как вектор . Так, в прямоугольной декартовой системе:

. (8)

Здесь i, j, k – единичные векторы, направленные вдоль осей x, y, z – соответственно.

Модуляция волны может формироваться не только и не столько в результате биений, но и многими другими способами. Так, радиопередатчик может модулировать несущую частоту по амплитуде при передаче голоса. Тем самым, амплитудная модуляция кодирует передаваемый сигнал. При этом и колебания и волны перестают быть строго гармоническими. Используя понятия спектра сигнала, можно говорить о том, что при модуляции несущей порождается целый спектр волн или колебаний – группа волн. Отсюда и происходит название групповой скорости. Еще раз подчеркнем, что с групповой скоростью распространяется именно огибающая амплитуды, закодированный сигнал. Во всех реальных ситуациях групповая скорость оказывается меньше скорости света (в отличие от фазовой скорости). Таким образом, никаких противоречий с теорией относительности не возникает – сигнал распространяется с досветовой скоростью.

Для линейного закона дисперсии ω=kc (где с – постоянная величина) значения групповой и фазовой скорости совпадают и равны с. Уточним, что это имеет место в средах без дисперсии. В плазме, как в диспергирующей среде, фазовая скорость ленгмюровских волн равна . Обратившись к закону дисперсии для плазменных волн , найдем групповую скорость:

. (9)

Интересно отметить и то, что произведение групповой скорости на фазовую дает как раз квадрат характерной скорости с². Данная закономерность достаточно типична, однако, характерная скорость для каждой среды и волн в ней своя.

Поиск по сайту: