Дисперсионное соотношение

Выше мы выяснили, что волновое уравнение может иметь самые разнообразные частные решения. Волновым решением мы договорились называть решение, которое зависит от времени и от пространственных координат гармоническим образом – через тригонометрические функции синуса или косинуса или в виде экспоненциальных функций с мнимыми аргументами, линейно зависящими от времени и координат. Для волновых решений важнейшими параметрами являются частота и волновое число (волновой вектор в трехмерном случае). На данном этапе необходимо специально отметить, что волновое решение удовлетворяет волновому уравнению не при любых значениях ω и k, а только при наличии их взаимосвязи. Для выявления этой связи достаточно подставить решение вида exp(i(ωt–kx)) в исходное волновое уравнение. Комплексная форма здесь наиболее удобна и компактна. Можно показать, что любое другое представление гармонического решения, в том числе и в виде стоячей волны, приводит к одной и той же связи между ω и k.

Подставив, в частности, волновое решение в волновое уравнение для струны (для волн в газе, для электромагнитных волн в выкууме и т.д.), можно убедиться, что уравнение превращается в тождество при ω²=k²c². Видоизменение исходного волнового уравнения приводит к изменению вида связи частоты с волновым числом. Подстановка волнового решения в уравнение для плазменных волн (волны в плазме рассмотрим на практических занятиях) приводит к соотношению ω²=k²c²+ω_р². Отметим, что учет диссипации энергии приводит к появлению первых производных в волновом уравнении.

При этом связь между частотой и волновым числом переходит в область комплексных чисел. Например, уравнение для электрических волн в проводящей линии дает соотношение ω² = k²V²+iωR/L.

Соотношение, связывающее между собой частоту и волновое число (волновой вектор), при котором волновое уравнение имеет волновое решение, называется дисперсионным соотношением, дисперсионным уравнением или законом дисперсии. Именно вид дисперсионного соотношения определяет характер волны. Поскольку волновые уравнения являются уравнениями с частными производными второго порядка по времени и координатам, закон дисперсии обычно представляет собой квадратное уравнение относительно частоты или волнового числа.

Простейшие дисперсионные уравнения имеют два простейших же решения ω=+kc и ω=–kc. Мы уже знаем, что эти два решения соответствуют двум волнам, распространяющимся в противоположных направлениях. По своему физическому смыслу частота является величиной положительной так, что два решения должны определять два значения волнового числа, отличающиеся знаком. Указанный закон дисперсии допускает, вообще говоря, существование волн с любыми волновыми числами, то есть любой длины, а, следовательно, и любых частот. Фазовая скорость таких волн v_ф=ω/k совпадает с той самой скоростью, которая фигурирует в волновом уравнении и является постоянной величиной, зависящей только от свойств среды.

Закон дисперсии плазменных волн описывает совершенно иную ситуацию. Очевидно, что минимальная частота плазменных волн равна ленгмюровской частоте. Область пространства, в которой плазменная частота больше частоты волны, является для этой волны областью непрозрачности. Попав в такую область, волна быстро затухает в пространстве, то есть распространяться не может. Фазовая скорость теперь зависит от волнового числа, а, следовательно, и от частоты.

Дисперсионное уравнение для проводящей линии представляет собой алгебраическое квадратное уравнение, имеющее комплексные корни. По аналогии с теорией колебаний, наличие мнимой части у частоты означает затухание или нарастание волн.

В общем виде закон дисперсии можно представить уравнением Ф(ω,k)=0, где Ф – некоторая функция частоты и волнового вектора. Разрешив это уравнение относительно ω, можно получить выражение для фазовой скорости . По определению фазовая скорость является вектором, направленным по нормали к фазовой поверхности. Тогда более корректно записать последнее выражение в следующей форме:

. (1)

Для простейших законов дисперсии, например, для волн в струне, функция f является просто константой, фазовая скорость не зависит ни от частоты, ни от модуля, ни от направления волнового вектора. В таком случае говорят, что среда не диспергирующая. Плазма является средой диспергирующей. Из закона дисперсии для ленгмюровских волн следует выражение:

(2)

Здесь фазовая скорость явно зависит от частоты, но не зависит явно ни от модуля, ни от направления волнового вектора. Обратим внимание на то, что фазовая скорость ленгмюровской волны может быть сколь угодно большой. Теперь настало время дать определение понятию дисперсии волн. Под этим термином следует понимать круг физических явлений, обусловленных зависимостью фазовой скорости волны от частоты или волнового вектора. В несколько упрощенном смысле дисперсией называют просто зависимость фазовой скорости от частоты. Более детальный анализ дисперсии позволяет подразделить ее на частотную (временную) дисперсию и пространственную дисперсию. Дисперсия ленгмюровских волн является типичным примером частотной дисперсии зависимости скорости только от частоты. Разумеется, сама частота через дисперсионное соотношение зависит от волнового числа, однако частотная дисперсия связана именно с явной зависимостью. Существует множество примеров сред и типов волн, фазовая скорость которых явно зависит от направления волнового вектора. Такие среды являются частными случаями так называемых анизотропных сред, свойства которых зависят от направления. При этом речь идет не только о направлении распространения волн. Например, в некоторых анизотропных средах проводимость зависит от направления тока. В указанных условиях говорят о пространственной дисперсии. Дисперсионные свойства сред – важнейший предмет исследований в волновой физике, имеющий первостепенную практическую значимость. Возможность альтернативного представления дисперсионного соотношения в форме функциональной зависимости частоты от волнового вектора или, наоборот, волнового вектора от частоты отнюдь не является простой формальностью. Эти две альтернативы соответствуют двум различным постановкам задач анализа волнового поля. Если рассматривается закон дисперсии в виде частотной зависимости волнового вектора, то говорят о задаче распространения. При этом в точечном или протяженном источнике задается гармонический колебательный процесс с фиксированной частотой, и рассматривается распространение волн в пространстве вне источника. Частота, будучи первичной в такой постановке, одинакова во всех точках поля, в то время как волновой вектор может меняться от точки к точке. Другую альтернативу можно назвать задачей временной эволюции. В этом случае частота зависит от волнового вектора. Разумеется, вещественная часть частоты, определяющая временной период волн, и здесь постоянна (за исключением так называемых релаксирующих сред, где сами свойства среды изменяются во времени). Однако в зависимости от величины и направления волнового вектора может зависеть мнимая часть комплексной частоты, определяющая нарастания или затухание волн во времени в данной точке пространства. В этой связи указанную задачу часто называют еще задачей устойчивости волн.

Поиск по сайту: