функциясы

Мысал.

25 емтихан билеттерінің бесеуі “жақсы ”. Екі студент бір-бір билеттен алады. Екінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығын табу керек.

Шешуі: Сынақ- екі студенттің бірінен соң бірі бір-бір билеттен алуы.

Оқиға- А={екінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

Гипотезалар (көмекші оқиғалар):

={бірінші студенттің “жақсы ” билет алуы }

={ бірінші студенттің “жақсы ” билет алмауы }

-?

Бұларды толық ықтималдықтар формуласына қоямыз.

, , ,

Мысал.

Жоғарыдағы сынақта екінші студенттің “жақсы ” билет алғаны белгілі болса, бірінші студенттің “жақсы ” билет алу ықтималдығы.

Шешуі: Байес формуласы бойынша шығады

3. Кездейсоқ шамалар.

4. Кездейсоқ шаманың үлестірім заңы мен

функциясы.

Көптеген жағдайларда белгілі бір тұрақты заңдылықпен кездейсоқ нәтижелі сынақтың әрбір мүмкін болатын қарапайым нәтижесіне сан сәйкес қойылған болады.

Мысалдар: Екі ойын сүйегін лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұпайлардың қосындысын сәйкес қарастыруға болады;

Тиынды бес рет лақтыру деген сынақта әрбір мүмкін болатын нәтижеге түскен гербтің санын сәйкес қарастыруға болады;

36-дан 5 лото ойынында әрбір мүмкін болатын нәтижеге ұтыстың көлемін сәйкес қарастыруға болады;

Валюталардың курсын да осылай қарастыруға болады. Қалыптасқан экономикалық жағдайға байланысты валютаның курсы қалыптасады.

Бұл мысалдар келесі анықтамаға алып келеді

Анықтама: -ықтималдық кеңістігі берілсін. аралығы үшін

шартын қанағаттандыратын функциясын кездейсоқ шама дейді.

Ескерту:Кездейсоқ шама терминін сәтті термин деп айтуға болмайды, ол жаңылыс пікір туғызуы мүмкін. Өйткені бұл жерде функция біреу, заңдылық тұрақты, тек қана функцияның аргументі кездейсоқ.

Үлестірім

кездейсоқ шамасының үлестірімі деп

(16.1)

түріндегі ықтималдықтар жиынын айтады. Мұндағы - аралықтар және олардың ақырлы, саналымды бірігулері түріндегі санды жиындар.

Кездейсоқ шамасының үлестірімі оның қай аралықта мән қабылдау ықтималдығы қандай екенін көрсетеді.

Үлестірім функциясы. Қасиеттері

(16.2)

функциясын кездейсоқ шмасының үлестірім функциясы дейді.

(16.1) –ді ескерсек (16.2)-ні былай да жазуға болады:

Қсаиетері: F1)

F2) үшін болады. Бұдан функциясы кемімейтін функция екені шығады.

F3) әрбір нүктесінде оң жақты үзіліссіз:

F4) ,

Дәлелдеуі:F2):

Бұдан F2) дәлелденеді.

F3) және F4) қасиеттерін дәлелдеу үшін келесі лемма пайдаланылады:

Леммма: -ықтималдық кеңістігі.

1) оқиғалар тізбегі үшін

2) оқиғалар тізбегі үшін

Бұл лемма Р3)- аксиомасынан шығады. Керісінше, бұл леммадан Р3)- аксиомасы щығады. Сондықтан бұл лемма тұжырымын кейде Р3’) деп белгілейді.

Дәлелдеуі:F3):

, (k=1,2,…,n,…)

Олай болса лемма бойынша

.

Үлестірім қасиеттері

,

Бұдан екені шығады.

5. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар.

Дискретті кездейсоқ шамалар

кездейсоқ шамасының үлестірім функциясы дискретті үлестірім функциясы (II тарау, 3.1-пунктті қараңыз) болсын. Онда , мұндағы нүктелері үшін , яғни үлестірім заңы (ықтималдықтық өлшемі) жиынының нүктелерінде шоғырланған және . Мұндай кездейсоқ шама үшін оның кез келген борелдік жиынына түсу ықтималдығы, әрине, былайша анықталады:

(17)

Бұдан, жеке жағдай ретінде, үлестірім функциясы үшін

қатынастарын аламыз.

Егер кездейсоқ шамасының үлестірім заңы (1)-қатынаспен анықталса, онда мұндай кездейсоқ шаманы дискретті кездейсоқ шама деп атаймыз. Басқаша айтқанда дискретті кездейсоқ шама дегеніміз қабылдайтын мәндерінің жиыны ақырлы не саналымды жиын болатын кездейсоқ шама:

.

Айта кетелік, дискретті ықтималдық кеңістігінде анықталған кез келген сандық мәнді функция дискретті кездейсоқ шама болады, себебі , үшін , және кез келген борелдік жиыны үшін

, .

Абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамалар

Егер кездейсоқ шамасы үшін теріс емес функциясы табылып, оның үлестірім функциясы

, , (2)

интегралы түрінде жазылатын болса, онда мұндай абсолютті үзіліссіз үлестірім функциясына (ІІ тарау, §3, п.3.1) сәйкес келетін кездейсоқ шаманы абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шама деп, ал функциясын оның үлестірім тығыздығы деп атаймыз.

Анықтамадан үлестірім тығыздығы болатын функциясы

(3)

шартын қанағаттандыратынын (өйткені ), және, егер нүктесі функциясының үзіліссіздік нүктесі болса, онда жеткілікті аз шамасы үшін

, ,

болатынын аламыз. (2)-анықтамадан сонымен бірге функциясының үзіліссіздік нүктелерінде

қатынасы орындалатынын және кез келген үшін

(4)

формуласы дұрыс болатынын көреміз. Соңғы формуладан кез келген абсолютті үзіліссіз кездейсоқ шамасы үшін оның қандай да бір жеке мәнді қабылдау ықтималдығы әрқашан нөлге тең болатыны шығатыны айқын: , . Бұдан, кез келген интервал үшін (, немесе т.с.с.)

(5)

формуласының дұрыс болатынын байқаймыз. Жалпы (абсолютті) үзіліссіз кездейсоқ шамасының кез келген борелдік жиынына түсу ықтималдығы үшін

(5′)

формуласының дұрыстығын дәлелдеу қиын емес: (5)-формула (4)-қатынастың, жүйесінің алгебра болатындығының, теңдігінің және Каратеодори теоремасының салдары. ((5′)-интегралды, жалпы алғанда, Лебег интегралы ретінде түсіну керек).

Дискрет кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

Анықтама: дискрет кездейсоқ шама беріліп,

- мәндер жиыны,

, - үлестірімі белгілі болсын. Егер

шарты орындалса, онда кездейсоқ шаманың ақырлы математикалық күтімі бар дейді. Оның математикалық күтімі деп

санын айтады.

Абсолют үзіліссіз кездейсоқ шаманың математикалық күтімі

абсолют үзіліссіз кездейсоқ шама берілсін. - оның тығыздығы болсын

Егер болса, онда кездейсоқ шамасының ақырлы математикалық күтімі бар дейді және оның математикалық күтімі деп санын айтады.

Поиск по сайту: