Абсолютна та умовна збіжність рядів

Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.

Числовий ряд , члени якого мають довільні знаки, називаються знакозмінним рядом.

Частинним випадком знакозмінних числових рядів є знакопочергові ряди.

Числовий ряд виду , знаки членів якого змінюються по черзі, називається знакопочерговим рядом. Загальний член ряду , де а(n)>0, n=1,2….

Ознака Лейбніца. Нехай для знакопочергового числового ряду виконуються умови:

1.Послідовність є незростаючую, тобто

2.Границя загального члена Тоді ряд є збіжний.

Абсолютна та умовна збіжність рядів.

Знакозмінний ряд називають абсолютно збіжним, якщо збігається ряд, складений з абсолютних величин його членів, тобто ряд

Знакозмінний ряд називають умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд, складений з абсолютних величин його членів, розбігається.Якщо збігається ряд , то збігається і сам знакозмінний ряд .

55. Достатні ознаки збіжності додатніх числових рядів. Ознака порівняння.

Ряд вигляду

називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні

Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.

Ознака порівняння

Розглянемо два ряди з додатними членами

Для них виконуються наступні твердження: 1. Якщо члени ряду не більші відповідних членів збіжного ряду (), то ряд збігається.

Якщо кожний член ряду більший (або рівний) відповідного члена розбіжного ряду , то ряд розбігається.

Гранична ознака порівняння

Нехай ряди та додатні, а також існує скінчена границя

причому , тоді обидва ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

54.Додатні числові ряди. Ознака Коші збіжності додатних рядів.

Ряд вигляду

називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні

Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.

Радикальна ознака Коші

Якщо для ряду з додатними членами існує границя

то при ряд збіжний, а при - розбіжний.

При потрібно застосовувати іншу ознаку збіжності.

Інтегральна ознака Коші

Нехай задано ряд

причому додатна, неперервна і монотонно спадна функція від .Тоді

1) ряд збіжний, якщо невластивий інтеграл

збіжний;

2) ряд розбіжний, коли інтеграл розбіжний.

Під збіжністю інтегралу слід розуміти його обмеженість, тобто

53.Додатні числові ряди. Ознака Даламбера збіжності додатних рядів.

Ряд вигляду

називається додатним, якщо всі його члени невід'ємні

Для того, щоб визначити чи ряд збіжний чи розбіжний в літературі зібрані правила, які дозволяють це швидко. Розглянемо по черзі ознаки збіжності числових рядів.

Ознака Даламбера

Нехай члени ряду

додатні і відношення -го члену до -го має скінченну границю при

Якщо , то ряд збігається.

Якщо - ряд розбігається.

При треба застосовувати іншу ознаку збіжності, оскільки дана ознака не може визначити чи збіжний ряд чи розбіжний.

Поиск по сайту: