Теоретичні відомості. про виконання лабораторної роботи

Звіт

про виконання лабораторної роботи

по темі: «Додавання коливань»

Виконала:

ст. гр. ПФ-21

Наконечна О.М.

Перевірив:

Когут З.О.

Львів 2013

Мета: ознайомитися з теорією накладання коливань з близькими амплітудами і частотами. Побудувати залежності х1(х2) для такої системи, змінюючи вхідні параметри проаналізувати поведінку коливної системи.

Обладнання: Програма MATLAB.

Теоретичні відомості

Нехай точка бере участь у двох гар­монічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

, .

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди. Для цього відкладемо з точки О під кутом вектор амплітуди , а під кутом - вектор амплітуди (рис. 29).

Оскільки вектори і обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і :

і який обертається навколо точки з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуюче коливання описуються рівнянням

,

де – амплітуда результуючого коливання, а – його початкова фаза.

Застосовуючи теорему косинусів до одного з трикутників, на які паралелограм розбивається діагоналлю, з рис. 29 видно, що

,

.

Амплітуда A результуючого коли­вання залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Можливі значення A лежать в межах

.

Розглянемо аналітичний метод знаходження результуючого коливання в дея­ких простих випадках:

а) частоти і фази коливань, що додаються, однакові, амплітуди різні:

.

Амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі амплітуд коливань, що додаються.

б) частоти і амплітуди однакові, фази відрізняються на :

.

Амплітуда результуючого коливан­ня

менша суми амплітуд, що додаються; зокрема, якщо , то .

Якщо частоти коливань і неоднакові, то вектори і будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому ви­падку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається зі змінною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються бит­тями.

Нехай амплітуди коливань

, ,

а частоти дорівнюють

, і << .

Тоді рівняння коливань матимуть вигляд:

, .

Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми коси­нусів, отримуємо:

.

Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки << , то множник майже не зміниться, коли множник здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання можна розглядати як гармонічне з частотою й амплітудою

.

Частота зміни удвоє більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто . Період биття .

Розглянемо декілька конкретних випадків.

а) , ,

і << .

/ =0,01; 0,1.

б) , ,

і << .

/ =0,01.

Код програми:

%Накладання коливань

delta=0.1; % dw/w

w1=1; %частоти

w2=w1*(1.0-0.5*delta)/(1+0.5*delta);

a1=1.0; %амплітуди

a2=a1;

t=0:0.1:100; %час

x1=a1*cos(w1*t);

x2=a2*cos(w2*t);

x=x1+x2; %результуюче рівняння

plot(t,x)

Поиск по сайту: