Операции кубического исчисления

Операции кубического исчисления определяют преобразования над выражениями в кубической (векторной форме) в алфавите {0, 1, X}. Основными теоретико-множественными операциями кубического исчисления являются пересечение, объединение и дополнение.

Операция пересечения (Ç) двух n-мерных векторов (кубов) А = (а₁,а₂,... а_n) и B = (b₁,b₂,... b_n), где n - количество разрядов вектора (координат куба), обозначается C = A Ç B, где C = (c₁,c₂,... c_n), и определяется следующим образом:

Æ если aiÇbi=Æ хотя бы для одной из координат пересекаемых кубов, i=1,n; ((a1Çb1), (a2Çb2),... (anÇbn)) в противном случае.

Кубическая операция пересечения является покоординатной (т.е. ее результат определяется для каждой координаты независимо) и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в таблице 2.1. Отметим, что ранг результата пересечения С всегда меньше или равен рангу меньшего из кубов, участвующих в пересечении.

Таблица 2.1 - Кубическая операция пересечения

Частным случаем операции пересечения является операция поглощения (Î). Часто в литературе эту операцию называют операцией принадлежности по аналогии с соответствующей теоретико-множественной операцией. Куб А поглощается кубом В (А принадлежит В) (А Î В), если А Ç В = А. Если в поглощении участвуют одинаковые кубы, то результатом будет один из этих кубов.

Ниже приведены примеры выполнения операции пересечения C = A Ç B для различных операндов.

0X0X Ç X10X = 010X;

0X0X Ç 110X = Æ;

0X00 Ç 0X0X = 0X00 (поглощение, A Î B);

0X01 Ç 0X01 = 0X01 (A = B).

Операция объединения (È) двух n-мерных кубов А = (а₁,а₂,... а_n) и B = (b₁,b₂,... b_n), где n - количество координат куба, обозначается C = A È B, где C = (c₁,c₂,... c_n), и определяется как C = ((a₁Èb₁), (a₂È₂),... (a_nÈb_n)). Кубическая операция объединения является покоординатной и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в таблице в таблице 2.2. Ранг результата объединения С всегда больше или равен рангу большего из кубов, участвующих в объединении. Отметим, что для кубов с кодовым расстояним d больше или равным 2, результаты объединения могут быть противоречивыми.

Таблица 2.2 - Кубическая операция объединения

Частным случаем операции объединения является операция склеивания. Кубы одного ранга А и В склеиваются, если они различаются только в одном разряде i, причем a_i и b_i не равны X. Отметим, что именно операция склеивания никогда не дает противооречивых результатов.

Ниже приведены примеры выполнения операции объединения C = A È B для различных операндов.

0X0X È 0XX0 = 0XXX (d=2, результат противоречив, т.к. 0X11 ÏA,B, но 0X11 Î0XXX);

0X0X È 0X01 = 0X0X (поглощение, B ÎA);

0X01 È 0X00 = 0X0X (d=1, склеивание);

0101 È 0110 = 01XX (d=2, результат противоречив).

Операция дополнения для одного n-мерного куба А = (а₁,а₂,... а_n), где n - количество координат куба, обозначается C = Ā, где C = (c₁,c₂,... c_n). По аналогии с аналитическим описанием логических функций операцию дополнения часто называют логической инверсией и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в табл. 2.3. Отметим, что ранг дополнения С по отношению к исходному кубу А всегда остается неизменным.

Таблица 2.3 - Кубическая операция дополнения

Примеры выполнения

A = 0X0X, C = 1X1X;

A = 0110, C = 1001.

Кроме теоретико-множественных операций для кубического представления функций алгебры логики можно определить логические операции, которые по названиям аналогичны логическим функциям двух переменых. Правила выполнения этих операций соответствуют побитовым логическим операциям в языках программирования высокого уровня. Ниже рассмотрены основные из этих операций, а именно, конъюнкция (AND), дизъюнкция (OR), исключающее ИЛИ (XOR).

Кубическая операция конъюнкции (И, AND, &) двух n-мерных кубов А = (а₁,а₂,... а_n) и B = (b₁,b₂,... b_n), где n - количество координат куба, обозначается C = A & B, где C = (c₁,c₂,... c_n), и определяется как C = ((a₁ & b₁), (a₂ & b₂),... (a_n & b_n)). Кубическая операция конъюнкции является покоординатной и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в табл. 2.4. Достаточно часто в литературе эту операцию называют логическим умножением и обозначают точкой, «*» или не обозначают вовсе.

Таблица 2.4 - Кубическая операция И

Примеры выполнения:

0X01 & 11X1 = 0X01;

0110 & 01XX = 01X0.

Кубическая операция дизъюнкции (ИЛИ, OR, v) двух n-мерных кубов А = (а₁,а₂,...а_n) и B = (b₁,b₂,... b_n), где n - количество координат куба, обозначается C = A v B, где C = (c₁,c₂,... c_n), и определяется как C = ((a₁ v b₁), (a₂ v b₂),... (a_n v b_n)). Кубическая операция дизъюнкции является покоординатной и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в табл. 2.5. Достаточно часто в литературе эту операцию называют логическим сложением и обозначают знаком «+».

Таблица 2.5 - Кубическая операция ИЛИ

Примеры выполнения:

0X01 v 11X1 = 1X01;

0110 v 01XX = 011X.

Кубическая операция исключающее ИЛИ (сумма по модулю 2, XOR, Å) двух n-мерных кубов А = (а₁,а₂,... а_n) и B = (b₁,b₂,... b_n), где n - количество координат куба, обозначается C = A Å B, где C = (c₁,c₂,... c_n), и определяется как C = ((a₁ Å b₁), (a₂ Å b₂),... (a_n Å b_n)). Кубическая операция «сумма по модулю 2» является покоординатной и правила ее выполнения в каждом разряде указаны в табл. 2.6. Иногда в литературе эту операцию называют арифметическим сложением в одном разряде без переноса (или функцией полусумматора).

Таблица 2.6 - Кубическая операция исключающая ИЛИ

Примеры выполнения:

0X01 Å 11X1 = 1XX0;

0110 Å 0101 = 0011.

Отметим, что все вышеперечисленные операции отвечают условиям ассоциативности и коммутативности.

9. Прямая импликация и исправное кубическое моделирование

text/tema2/cub_mod.htm

Поиск по сайту: