 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Краткие теоретические сведения. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Пусть заданы n экспериментальных точек (xi, yi), и по ним нужно "наилучшим образом" провести теоретическую кривую. Будем предполагать, что вид этой кривой известен, а неизвестны только параметры b 1, b 2, …, bm, входящие в аналитическое выражение для теоретической кривой yth:
. (7.1)
Количество параметров m обычно значительно меньше числа точек n, поэтому теоретическая кривая не будет в точности проходить через все точки.
Экспериментальные данные yi отягощены ошибками, которые нужно отсеять при построении теоретической кривой. Представим каждый i -й опыт в виде
, (7.2)
где zi – случайная ошибка, относительно которой мы сделаем следующие предположения:
1. все zi – независимые;
2. все zi – нормально распределённые;
3. все zi имеют одинаковые дисперсии;
4. все zi имеют математическое ожидание, равное 0.
Обычно эти предположения выполняются: все опыты проводятся независимо, на результат каждого опыта влияет много мелких случайных факторов, все опыты проводятся в одинаковых условиях и при их проведении исключены систематические ошибки. Тогда плотность распределения каждой величины zi имеет вид
, (7.3)
а совместная плотность распределения всех zi – это
. (7.4)
Применим для построения теоретической кривой принцип максимума правдоподобия, который гласит: на практике, как правило, происходят события с максимальными вероятностями. В нашем случае это означает: значения параметров b 1, b 2, …, bm должны быть такими, чтобы совместная плотность распределения всех zi (7.4) была максимальной. Этого можно добиться, минимизируя величину
. (7.5)
Таким образом, принцип максимума правдоподобия приводит к методу наименьших квадратов: теоретическую кривую нужно проводить таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от экспериментальных точек была минимальной.
Если в качестве теоретической функции взять полином, то в MATLAB 'е для аппроксимации по методу наименьших квадратов можно использовать ту же команду polyfit, что и для интерполяции. Нужно только задать меньшую степень аппроксимирующего полинома. Можно также непосредственно минимизировать функцию L (b 1, b 2,…, bm) (7.5).
Поиск по сайту: