Пример выполнения задания

По заданным n точкам построить линейную и квадратичную аппроксимации по методу наименьших квадратов. Нарисовать график. Сравнить решение с полиномом Лагранжа.

Очищаем память от предыдущих задач. Задаём формат отображения чисел с 5 знаками. Вводим исходные данные: вектор-столбцы x и y. С помощью команды polyfit (см. главу 1) находим коэффициенты линейной, квадратичной аппроксимации и интерполирующего полинома Лагранжа.

clear all % очищаем память

format short % формат отображения чисел с 5 знаками

x=[0.215;0.22;0.225;0.23] % вводим x

y=[4.62261;4.65855;4.51919;4.46422] % вводим y

n=length(x); % длина векторов исходных данных

p1=polyfit(x,y,1) % коэф. линейной аппроксимации

p2=polyfit(x,y,2) % коэф. квадратичной аппроксимации

p=polyfit(x,y,n-1) % коэф. интерпол.полинома

x =

0.2150

0.2200

0.2250

0.2300

y =

4.6226

4.6586

4.5192

4.4642

p1 =

-12.2906 7.3008

p2 =

-909.1000 392.2589 -37.6769

p =

1.0e+005 *

3.4625 -2.3203 0.5180 -0.0385

Построим теперь аппроксимирующий квадратичный полином путём непосредственной минимизации функции (7.5). Опишем символические переменные для аргумента и коэффициентов аппроксимации. Переведём координаты точек x и y в символические выражения. Вычислим функцию L. Продифференцируем её по всем аргументам. Составим систему уравнений и решим её. Подставим полученные значения в выражение для функции L.

syms xs a0 a1 a2 % описали символические переменные

xk=sym(x); yk=sym(y); % преобразовали в символические

ys=a2*xs^2+a1*xs+a0; % квадратичный полином

ysk=subs(ys,xs,xk); % подставили x(k)

L=simple(sum((ysk-yk).^2)); % составили L и упростили

dLda0=diff(L,a0); dLda1=diff(L,a1); dLda2=diff(L,a2);

Eq0=[char(dLda0) '=0']; % составляем уравнения

Eq1=[char(dLda1) '=0'];

Eq2=[char(dLda2) '=0'];

Sol=solve(Eq0,Eq1,Eq2); % решаем систему уравнений

ys=vpa(subs(ys,{a2,a1,a0},{Sol.a2,Sol.a1,Sol.a0}),8)

ys =

-909.10000*xs^2+392.25890*xs-37.676922

Если Вы всё проделали правильно, то коэффициенты полученного квадратичного полинома должны совпасть с p2.

Нарисуем теперь графики полученных функций. Зададим аргументы так же, как мы это делали в главе 1. Вычислим ординаты всех полиномов по команде polyval. Нарисуем непрерывной линией красного цвета квадратичную аппроксимацию, штриховой линией фиолетового цвета – линейную аппроксимацию, а полином Лагранжа изобразим пунктирной линией синего цвета. Экспериментальные точки покажем круглыми маркерами чёрного цвета. Зададим границы по оси абсцисс. Подпишем заголовок и оси координат.

xleft=x(1)-(x(2)-x(1)); % левая точка

xright=x(n)+(x(n)-x(n-1)); % правая точка

xpl=[xleft:(xright-xleft)/1000:xright]; % абсциссы

y1=polyval(p1,xpl); % линейная аппроксимация

y2=polyval(p2,xpl); % квадратичная аппроксимация

ylagr=polyval(p,xpl); % полином Лагранжа

plot(xpl,y2,'-r',xpl,y1,'--m',xpl,ylagr,':b',x,y,'or')

xlim([xleft xright])

title('\bfMinimal square approximation')

xlabel('x')

ylabel('y(x)')

Поиск по сайту: