Пример выполнения типового расчета

Задача. Пространственная область G, ограничена поверхностями z = 4 – x ² – y ², ­ z = 0, ­ y = 0 (y ≥ 0). Объемная плотность области G равна γ (x, y, z) = 3 .
Решение. Тело ограничено поверхностью параболоида и двумя координатными плоскостями. Проекцией тела на плоскость Oxy является полукруг (рис. 1). Поэтому при вычислениях удобно использовать цилиндрическую систему координат. В этой системе уравнение параболоида запишется: z = 4 – x ² – y ² <=> z = 4 – ρ ² и тело G можно записать системой неравенств:
G:

Рис. 1

Объем тела найдем по формуле (1):


Найдем массу тела по формуле (2). Плотность его равна γ = 3 = 3 ρ.



Для нахождения координат центра масс вычислим сначала статические моменты тела относительно координатных плоскостей по формулам (3) – (5):







Внутренний и промежуточный интегралы здесь совпадают с соответствующими интегралами в выражении для M_xz, поэтому переходим сразу к заключительному этапу вычисления.

Координаты центра масс найдем по формулам (6) – (7):
­ ­ ­ ­ ­ ­
Момент инерции тела относительно оси Oz найдем по формуле (8):
J_z


Ответ: V = 4π ≈ 12,57; M_xz = 32; M_yz = 0; x_c = 0; y_c = z_c = J_z =

Поиск по сайту: